NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 278

Punkty $P,A,B$ leżą na jednej prostej, a $A$ leży między $P$ i $B$. Najpierw porównamy kąty trójkątów $PCA$ i $PBC$.

Kąt przy punkcie $P$ jest wspólny:

$$\angle CPA=\angle BPC.$$

Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą kąt między styczną $PC$ i cięciwą $CA$ jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie:

$$\angle PCA=\angle CBA.$$

Ponieważ półproste $BA$ i $BP$ pokrywają się, mamy $\angle CBA=\angle PBC$. Zatem

$$\angle PCA=\angle PBC.$$

Na mocy cechy kąt–kąt

$$\triangle PCA\sim\triangle PBC.$$

Odpowiadają sobie boki $PC$ i $PB$ oraz $PA$ i $PC$, więc

$$\frac{|PC|}{|PB|}=\frac{|PA|}{|PC|}.$$

Po pomnożeniu stron przez $|PB|\cdot|PC|$ otrzymujemy

$$|PC|^2=|PA|\cdot|PB|.$$

a) Promień $OA$ jest prostopadły do stycznej $PA$. W trójkącie prostokątnym $OAP$:

$$OP=\sqrt{OA^2+PA^2} =\sqrt{2{,}5^2+6^2} =\sqrt{42{,}25}=6{,}5\ \text{cm}.$$

b) Z twierdzenia o siecznej potęga punktu $P$ względem okręgu wynosi

$$PC\cdot PD=2\cdot5=10.$$

Ta sama potęga jest równa $OP^2-r^2$, zatem

$$OP^2-2{,}5^2=10,$$ $$OP=\sqrt{10+6{,}25}=\sqrt{\frac{65}{4}} =\frac{\sqrt{65}}2\ \text{cm}.$$