NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 276

Pole trójkąta wyraża się wzorem

$$P=\frac12ab\sin\gamma,$$

więc najpierw wyznaczymy $\sin\gamma$. Dla każdej otrzymanej wartości sinusa istnieją dwa możliwe kąty: ostry i rozwarty. Ich cosinusy mają przeciwne znaki.

a)

$$\sin\gamma=\frac{2P}{ab}=\frac{24}{40}=\frac35, \qquad \cos\gamma=\pm\frac45.$$

Z twierdzenia cosinusów

$$c^2=4^2+10^2-2\cdot4\cdot10\cos\gamma.$$

Dla $\cos\gamma=\frac45$ mamy $c^2=52$, a dla $\cos\gamma=-\frac45$ mamy $c^2=180$. Stąd $c=2\sqrt{13}$ lub $c=6\sqrt5$.

b)

$$\sin\gamma=\frac{2\cdot10\sqrt2}{5\cdot6} =\frac{2\sqrt2}{3}, \qquad \cos\gamma=\pm\frac13.$$

Teraz

$$c^2=5^2+6^2-2\cdot5\cdot6\cos\gamma.$$

Dla $\cos\gamma=\frac13$ otrzymujemy $c^2=41$, a dla $\cos\gamma=-\frac13$ — $c^2=81$.

Kąt $\gamma$ leży między bokami $a$ i $b$, a naprzeciw niego leży bok $c$. Korzystamy z twierdzenia cosinusów i ze związku $\sin\gamma=\sqrt{1-\cos^2\gamma}$.

a)

$$\cos\gamma=\frac{3^2+(\sqrt2)^2-(\sqrt5)^2} {2\cdot3\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},$$

zatem $\sin\gamma=\frac{\sqrt2}{2}$ i

$$P=\frac12\cdot3\cdot\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac32.$$

b)

$$\cos\gamma=\frac{2^2+(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2} {2\cdot2\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{10}.$$

Stąd

$$\sin\gamma=\sqrt{1-\frac{45}{100}}=\frac{\sqrt{55}}{10}$$

oraz

$$P=\frac12\cdot2\sqrt5\cdot\frac{\sqrt{55}}{10} =\frac{\sqrt{11}}2.$$

a) Rzut poziomy każdego ramienia na dłuższą podstawę ma długość $6\cos60^\circ=3$, a wysokość trapezu wynosi $6\sin60^\circ=3\sqrt3$. Krótsza podstawa ma więc długość $10-2\cdot3=4$. Przekątna ma rzut poziomy $3+4=7$, zatem

$$d=\sqrt{7^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}\ \text{cm}.$$

b) Niech $x$ będzie rzutem poziomym ramienia długości $4$ na różnicę podstaw. Rzut drugiego ramienia ma wtedy długość $3-x$. Z równości dwóch zapisów wysokości:

$$4^2-x^2=5^2-(3-x)^2.$$

Po uproszczeniu otrzymujemy $x=0$, więc wysokość ma długość $4$. Jedna przekątna ma rzut poziomy $3$, a druga $6$. Stąd

$$d_1=\sqrt{3^2+4^2}=5, \qquad d_2=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}.$$

a) Bok rombu ma długość $16:4=4$. Dla kąta rozwartego $\theta$, którego $\cos\theta=-\frac18$, kwadraty przekątnych są równe

$$d_1^2=4^2+4^2-2\cdot4\cdot4\cos\theta=36,$$ $$d_2^2=4^2+4^2+2\cdot4\cdot4\cos\theta=28.$$

Zatem $d_1=6$ i $d_2=2\sqrt7$.

b) Jeśli kąt ostry ma miarę $\alpha$, to kąt rozwarty ma miarę $2\alpha$. Ponieważ kąty sąsiednie sumują się do $180^\circ$, mamy $3\alpha=180^\circ$, czyli $\alpha=60^\circ$.

Niech krótszy bok ma długość $x$, a dłuższy $3x$. Z obwodu $2(x+3x)=16$, więc boki mają długości $2$ i $6$. Dla kąta $60^\circ$:

$$d_1^2=2^2+6^2-2\cdot2\cdot6\cos60^\circ=28,$$ $$d_2^2=2^2+6^2+2\cdot2\cdot6\cos60^\circ=52.$$

Stąd $d_1=2\sqrt7$ i $d_2=2\sqrt{13}$.

Ponieważ $P$ jest środkiem słupa wysokości $14$ m, mamy $XP=7$ m. Ze skanu wynika, że $A$ leży po stronie opadającej stoku, a $B$ po stronie wznoszącej. Stok tworzy z poziomem kąt $10^\circ$, więc tworzy z pionem kąty odpowiednio $100^\circ$ i $80^\circ$.

W trójkącie $AXP$, z twierdzenia cosinusów:

$$PA^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cos100^\circ,$$

czyli

$$PA\approx9{,}98\ \text{m}.$$

Analogicznie w trójkącie $BXP$:

$$PB^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cos80^\circ,$$

stąd

$$PB\approx8{,}39\ \text{m}.$$

Punkty $A,D,C$ leżą na jednej prostej. Kąt $\delta=\angle BDC$ jest więc kątem zewnętrznym trójkąta $ABD$ przy wierzchołku $D$.

Z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta:

$$\delta=\angle BAD+\angle ABD.$$

Ponieważ $D$ leży na boku $AC$, mamy $\angle BAD=\alpha$. Ponadto $\angle ABD>0$, zatem

$$\delta=\alpha+\angle ABD>\alpha.$$