NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 275

Największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku. Środek okręgu opisanego leży wewnątrz trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest ostrokątny, czyli gdy cosinus jego największego kąta jest dodatni.

a) Najdłuższy bok: $8$.

$$\cos\gamma=\frac{6^2+7^2-8^2}{2\cdot6\cdot7}=\frac14>0.$$

Środek leży wewnątrz trójkąta.

b) Najdłuższy bok: $10$.

$$\cos\alpha=\frac{7^2+5^2-10^2}{2\cdot7\cdot5}=-\frac{13}{35}<0.$$

Środek leży na zewnątrz trójkąta.

c) Najdłuższy bok: $2\sqrt2$.

$$\cos\beta=\frac{2^2+1^2-(2\sqrt2)^2}{2\cdot2\cdot1}=-\frac34<0.$$

Środek leży na zewnątrz trójkąta.

d) Najdłuższy bok: $4$.

$$\cos\alpha=\frac{(2\sqrt3)^2+2^2-4^2}{2\cdot2\sqrt3\cdot2}=0.$$

Trójkąt jest prostokątny, więc środek okręgu opisanego leży na przeciwprostokątnej, a nie wewnątrz trójkąta.

Oznaczmy przez $\gamma$ kąt naprzeciw boku długości $7$.

a) Z twierdzenia cosinusów:

$$\cos\gamma=\frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot5\cdot6}=\frac15.$$

b) Dla środkowej poprowadzonej do boku długości $6$ korzystamy ze wzoru Apolloniosa:

$$m=\frac12\sqrt{2\cdot5^2+2\cdot7^2-6^2} =\frac12\sqrt{112}=2\sqrt7.$$

c) Półobwód wynosi $s=9$, zatem ze wzoru Herona

$$P=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=6\sqrt6.$$

Promień okręgu opisanego:

$$R=\frac{abc}{4P} =\frac{5\cdot6\cdot7}{4\cdot6\sqrt6} =\frac{35\sqrt6}{24}.$$

Promień okręgu wpisanego:

$$r=\frac{P}{s}=\frac{6\sqrt6}{9}=\frac{2\sqrt6}{3}.$$

Najmniejszy kąt leży naprzeciw boku długości $4$, a największy — naprzeciw boku długości $6$. Oznaczmy trzeci bok przez $5$. Z twierdzenia sinusów

$$\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{6}{4}=\frac32,$$

czyli $\sin\beta=\frac32\sin\alpha$.

Z twierdzenia cosinusów dla kąta $\alpha$:

$$\cos\alpha=\frac{5^2+6^2-4^2}{2\cdot5\cdot6} =\frac{45}{60}=\frac34.$$

Zatem

$$2\sin\alpha\cos\alpha =2\sin\alpha\cdot\frac34 =\frac32\sin\alpha =\sin\beta.$$

Jeżeli $x$ jest najdłuższym bokiem, to cosinus kąta leżącego naprzeciw niego obliczamy ze wzoru

$$\cos\varphi=\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}.$$

Znak cosinusa rozstrzyga, czy największy kąt jest ostry, prosty czy rozwarty.

a) Najdłuższy bok ma długość $8$:

$$\cos\varphi=\frac{7^2+5^2-8^2}{2\cdot7\cdot5}=\frac17>0.$$

Trójkąt jest ostrokątny.

b) Najdłuższy bok ma długość $25$:

$$\cos\varphi=\frac{7^2+24^2-25^2}{2\cdot7\cdot24}=0.$$

Trójkąt jest prostokątny.

c) Najdłuższy bok ma długość $11$:

$$\cos\varphi=\frac{10^2+4^2-11^2}{2\cdot10\cdot4}=-\frac1{16}<0.$$

Trójkąt jest rozwartokątny.

d) Najdłuższy bok ma długość $21$:

$$\cos\varphi=\frac{6^2+20^2-21^2}{2\cdot6\cdot20}=-\frac1{48}<0.$$

Trójkąt jest rozwartokątny.