NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 274

a) Kąt $150^\circ$ jest największym kątem trójkąta, więc leży naprzeciw jego najdłuższego boku. Oznaczmy długość tego boku przez $x$. Twierdzenie cosinusów daje

$$\begin{aligned} x^2 &=2^2+(2\sqrt3)^2 -2\cdot2\cdot2\sqrt3\cos150^\circ\\ &=4+12-8\sqrt3\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\\ &=28. \end{aligned}$$

Zatem $x=2\sqrt7$ cm.

b) Skoro suma dwóch kątów wynosi $135^\circ$, trzeci kąt ma $45^\circ$. Pozostałe dwa kąty sumują się do $135^\circ$ i oba są mniejsze od $90^\circ$, więc każdy z nich jest większy od $45^\circ$. Kąt $45^\circ$ jest zatem najmniejszy i leży naprzeciw najkrótszego boku.

Oznaczmy długość tego boku przez $x$. Kąt $45^\circ$ jest kątem między dwoma dłuższymi bokami, dlatego

$$\begin{aligned} x^2 &=(3\sqrt2)^2+(3+\sqrt3)^2 -2\cdot3\sqrt2(3+\sqrt3)\cos45^\circ\\ &=18+(12+6\sqrt3)-6(3+\sqrt3)\\ &=12. \end{aligned}$$

Stąd $x=2\sqrt3$ cm.