NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 273

Przyjmujemy standardowe oznaczenia: $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$.

a) Mamy $a=7$, $b=8$ i $\alpha=60^\circ$. Z twierdzenia cosinusów dla boku $a$:

$$7^2=8^2+c^2-2\cdot8c\cos60^\circ.$$

Po uporządkowaniu otrzymujemy

$$c^2-8c+15=0,$$

czyli

$$(c-3)(c-5)=0.$$

Obie dodatnie wartości, $c=3$ i $c=5$, spełniają nierówności trójkąta, więc powstają dwa różne trójkąty.

b) Teraz $b=5$, $c=8$ i $\beta=45^\circ$. Twierdzenie cosinusów daje

$$5^2=a^2+8^2-2\cdot a\cdot8\cos45^\circ,$$

a więc

$$a^2-8\sqrt2\,a+39=0.$$

Wyróżnik tego równania jest ujemny:

$$\Delta=(8\sqrt2)^2-4\cdot39=128-156=-28.$$

Nie istnieje zatem dodatnia rzeczywista długość $a$ spełniająca podane warunki, czyli taki trójkąt nie istnieje.

Mamy $a=|BC|=2\sqrt3$, $b=|AC|=2\sqrt6$ oraz $\alpha=30^\circ$. Z twierdzenia cosinusów dla boku $a$:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha.$$

Po podstawieniu danych:

$$12=24+c^2-2\cdot2\sqrt6\,c\cdot\frac{\sqrt3}{2},$$

czyli

$$c^2-6\sqrt2\,c+12=0.$$

Stąd

$$c=\frac{6\sqrt2\pm\sqrt{72-48}}2 =3\sqrt2\pm\sqrt6.$$

Twierdzenie sinusów daje

$$\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\alpha}{a}, \qquad \sin\beta =\frac{b\sin\alpha}{a} =\frac{2\sqrt6\cdot\frac12}{2\sqrt3} =\frac{\sqrt2}{2}.$$

Możliwe są więc kąty $\beta=45^\circ$ i $\beta=135^\circ$.

Jeśli $c=3\sqrt2-\sqrt6$, jest to najkrótszy bok, zatem leżący naprzeciw niego kąt $\gamma$ jest najmniejszy. Otrzymujemy wtedy $\beta=135^\circ$ i $\gamma=15^\circ$.

Jeśli $c=3\sqrt2+\sqrt6$, to $c$ jest najdłuższym bokiem, więc $\gamma$ musi być największym kątem. Wówczas $\beta=45^\circ$ i $\gamma=105^\circ$.

a) Z twierdzenia sinusów:

$$\frac{c}{\sin\gamma}=\frac{b}{\sin\beta}, \qquad \sin\gamma=\frac{c\sin\beta}{b} =\frac{6\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}}6=1.$$

Zatem $\gamma=90^\circ$, $\alpha=45^\circ$, a ponieważ $\alpha=\beta$, mamy także $a=b=6$.

b) Najpierw obliczamy bok $c$ leżący naprzeciw kąta $\gamma$:

$$\begin{aligned} c^2 &=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\ &=4^2+(2+2\sqrt3)^2 -2\cdot4(2+2\sqrt3)\cos30^\circ\\ &=8. \end{aligned}$$

Stąd $c=2\sqrt2$. Następnie

$$\sin\alpha=\frac{a\sin\gamma}{c} =\frac{4\cdot\frac12}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Ponieważ $b$ jest najdłuższym bokiem, $\beta$ jest największym kątem. Otrzymujemy $\alpha=45^\circ$ oraz $\beta=105^\circ$.

c) Z twierdzenia sinusów:

$$\sin\alpha =\frac{a\sin\beta}{b} =\frac{(3+\sqrt3)\frac{\sqrt3}{2}}{3\sqrt2} =\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2} =\sin75^\circ.$$

Są więc dwie możliwości.

• Dla $\alpha=75^\circ$ mamy $\gamma=45^\circ$ oraz $$c=\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta} =\frac{3\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}} =2\sqrt3.$$
• Dla $\alpha=105^\circ$ mamy $\gamma=15^\circ$ oraz $$c=\frac{3\sqrt2\sin15^\circ}{\sin60^\circ} =3-\sqrt3.$$

d) Z twierdzenia cosinusów dla boku $a$:

$$(2\sqrt7)^2=b^2+2^2-2\cdot b\cdot2\cos120^\circ.$$

Otrzymujemy

$$b^2+2b-24=0,$$

więc dodatnim rozwiązaniem jest $b=4$. Dalej

$$\sin\gamma=\frac{c\sin\alpha}{a} =\frac{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt7} =\frac{\sqrt{21}}{14}.$$

Stąd $\gamma\approx19^\circ$, a $\beta=180^\circ-120^\circ-\gamma\approx41^\circ$.