NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 272

a)

$$c^2=4^2+(\sqrt3)^2-2\cdot4\sqrt3\cos30^\circ =19-12=7,$$

więc $c=\sqrt7$.

b)

$$a^2=5^2+(3\sqrt2)^2-2\cdot5\cdot3\sqrt2\cos45^\circ =43-30=13,$$

zatem $a=\sqrt{13}$.

c)

$$c^2=2^2+6^2-2\cdot2\cdot6\cos120^\circ =40+12=52,$$

czyli $c=2\sqrt{13}$.

d)

$$b^2=(2\sqrt3)^2+4^2-2\cdot2\sqrt3\cdot4\cos150^\circ =28+24=52,$$

więc $b=2\sqrt{13}$.

Z $\sin\gamma=\frac45$ wynika $|\cos\gamma|=\frac35$.

a) Dla kąta ostrego $\cos\gamma=\frac35$, więc

$$c^2=6^2+10^2-2\cdot6\cdot10\cdot\frac35 =136-72=64.$$

Zatem $c=8$.

b) Dla kąta rozwartego $\cos\gamma=-\frac35$. Wtedy

$$c^2=136-120\left(-\frac35\right)=208,$$

czyli $c=4\sqrt{13}$.

Kwadraty przekątnych równoległoboku są równe

$$d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma, \qquad d_2^2=a^2+b^2+2ab\cos\gamma.$$

Kolejność $d_1,d_2$ zależy od znaku cosinusa; interesuje nas para długości.

a)

$$a^2+b^2=52,\qquad 2ab\cos30^\circ=24,$$

więc $d_1=2\sqrt7$, $d_2=2\sqrt{19}$.

b)

$$a^2+b^2=24,\qquad 2ab\cos45^\circ=16,$$

zatem $d_1=2\sqrt2$, $d_2=2\sqrt{10}$.

c)

$$a^2+b^2=34,\qquad 2ab\cos60^\circ=15,$$

czyli $d_1=\sqrt{19}$, $d_2=7$.

d) Ponieważ $\cos120^\circ=-\frac12$, wartości pod pierwiastkami to

$$100-48=52\quad\text{oraz}\quad100+48=148.$$

Stąd $d_1=2\sqrt{13}$ i $d_2=2\sqrt{37}$.

a) Ponieważ $a=b=1$, mamy $\alpha=\beta$. Dla kąta $\gamma$:

$$\cos\gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} =\frac{2-(2+\sqrt3)}{2} =-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Zatem $\gamma=150^\circ$, a

$$\alpha=\beta=\frac{180^\circ-150^\circ}{2}=15^\circ.$$

b) Najpierw obliczamy kąt $\alpha$:

$$\cos\alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{4+(1+\sqrt3)^2-2}{4(1+\sqrt3)} =\frac{\sqrt3}{2}.$$

Stąd $\alpha=30^\circ$. Następnie

$$\cos\beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} =\frac{2+(1+\sqrt3)^2-4}{2\sqrt2(1+\sqrt3)} =\frac{\sqrt2}{2},$$

więc $\beta=45^\circ$ i

$$\gamma=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ.$$

Kąt $\beta$ leży naprzeciw boku $b$, więc

$$\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}.$$

a)

$$\cos\beta=\frac{25+9-19}{2\cdot5\cdot3}=\frac12,$$

stąd $\beta=60^\circ$.

b)

$$\cos\beta =\frac{2+4-10}{2\cdot\sqrt2\cdot2} =-\frac{\sqrt2}{2},$$

więc $\beta=135^\circ$.

a) Dla największego boku $b=4\sqrt3$:

$$\cos\beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} =\frac{12+36-48}{2\cdot2\sqrt3\cdot6}=0.$$

Zatem $\beta=90^\circ$. Dalej

$$\cos\alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{48+36-12}{2\cdot4\sqrt3\cdot6} =\frac{\sqrt3}{2},$$

więc $\alpha=30^\circ$ i $\gamma=60^\circ$.

b) Dla boku $a=\sqrt6$:

$$\cos\alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{12+(3+\sqrt3)^2-6}{4\sqrt3(3+\sqrt3)} =\frac{\sqrt3}{2},$$

czyli $\alpha=30^\circ$. Ponadto

$$\cos\beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} =\frac{6+(3+\sqrt3)^2-12}{2\sqrt6(3+\sqrt3)} =\frac{\sqrt2}{2}.$$

Stąd $\beta=45^\circ$ oraz $\gamma=105^\circ$.

a)

$$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{9+16-4}{24}=\frac78,$$ $$\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} =\frac{4+16-9}{16}=\frac{11}{16}.$$

Stąd $\alpha\approx29^\circ$, $\beta\approx46{,}5^\circ$ oraz $\gamma\approx104{,}5^\circ$.

b)

$$\cos\alpha=\frac{25+49-9}{2\cdot5\cdot7}=\frac{13}{14},$$ $$\cos\beta=\frac{9+49-25}{2\cdot3\cdot7}=\frac{11}{14}.$$

Zatem $\alpha\approx22^\circ$, $\beta\approx38^\circ$. Dodatkowo

$$\cos\gamma=\frac{9+25-49}{2\cdot3\cdot5}=-\frac12,$$

więc dokładnie $\gamma=120^\circ$.

a) Niech krótszy z dwóch szukanych boków ma długość $x$, a drugi $3x$. Z twierdzenia cosinusów dla trzeciego boku:

$$7^2=x^2+(3x)^2-2\cdot x\cdot3x\cos60^\circ.$$

Stąd

$$49=7x^2,$$

więc $x=\sqrt7$. Boki mają długości $\sqrt7$ i $3\sqrt7$.

b) Oznaczmy krótszy bok przez $x$, a dłuższy przez $4x$. Wtedy

$$21^2=x^2+(4x)^2-2\cdot x\cdot4x\cos120^\circ.$$

Zatem

$$441=21x^2,$$

czyli $x=\sqrt{21}$. Szukane boki to $\sqrt{21}$ i $4\sqrt{21}$.

Przekątna $AC$ dzieli kąt $BAD=60^\circ$ na dwa kąty po $30^\circ$. Ponieważ $AB\parallel CD$, mamy także $\angle ACD=30^\circ$. Trójkąt $ACD$ jest więc równoramienny: $AD=CD=x$, a $\angle ADC=120^\circ$. Z twierdzenia cosinusów:

$$6^2=x^2+x^2-2x^2\cos120^\circ=3x^2,$$

stąd

$$AD=CD=2\sqrt3.$$

W trójkącie $ABC$:

$$BC^2=(8\sqrt3)^2+6^2 -2\cdot8\sqrt3\cdot6\cos30^\circ =192+36-144=84,$$

czyli $BC=2\sqrt{21}$. Obwód trapezu jest równy

$$8\sqrt3+2\sqrt{21}+2\sqrt3+2\sqrt3 =12\sqrt3+2\sqrt{21}.$$