NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 271

Niech $c$ będzie najdłuższym bokiem trójkąta i załóżmy, że

$$c^2=a^2+b^2.$$

Z twierdzenia cosinusów dla kąta $\gamma$ leżącego naprzeciw $c$:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma.$$

Porównanie obu równości daje

$$2ab\cos\gamma=0.$$

Długości $a,b$ są dodatnie, więc $\cos\gamma=0$, a zatem $\gamma=90^\circ$. Trójkąt jest prostokątny, co jest tezą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

Stosujemy twierdzenie cosinusów do boku leżącego naprzeciw podanego kąta.

a)

$$c^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos60^\circ =74-35=39,$$

więc $c=\sqrt{39}$.

b)

$$c^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos150^\circ =74+35\sqrt3,$$

zatem $c=\sqrt{74+35\sqrt3}$.

c)

$$b^2=3^2+(2\sqrt2)^2 -2\cdot3\cdot2\sqrt2\cos45^\circ =17-12=5,$$

czyli $b=\sqrt5$.

d)

$$a^2=3^2+(2\sqrt2)^2 -2\cdot3\cdot2\sqrt2\cos135^\circ =17+12=29,$$

więc $a=\sqrt{29}$.