NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 270

Niech $D$ będzie spodkiem wysokości $BD=h$ na przedłużeniu boku $AC$. Ponieważ $\gamma$ jest rozwarty, kąt $BCD$ ma miarę $180^\circ-\gamma$. Zatem

$$CD=a\cos(180^\circ-\gamma)=-a\cos\gamma.$$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BCD$:

$$h^2=a^2-CD^2.$$

Ponieważ $AD=AC+CD=b+CD$, w trójkącie $ABD$ otrzymujemy

$$c^2=h^2+AD^2.$$

Podstawiamy obie zależności:

$$\begin{aligned} c^2 &=a^2-CD^2+(b+CD)^2\\ &=a^2+b^2+2b\,CD\\ &=a^2+b^2-2ab\cos\gamma. \end{aligned}$$

Otrzymaliśmy żądaną postać twierdzenia cosinusów.