NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 269

Niech $x$ oznacza długość krótszego cienia, powstającego przy kącie $40^\circ$, a $h$ — wysokość drzewa. Drugi cień ma długość $x+12$. Z dwóch trójkątów prostokątnych:

$$\tan40^\circ=\frac{h}{x}, \qquad \tan30^\circ=\frac{h}{x+12}.$$

Stąd $x=h\cot40^\circ$ oraz $x+12=h\cot30^\circ$, więc

$$h=\frac{12}{\cot30^\circ-\cot40^\circ} \approx22{,}2\ \text{m}.$$

Dla trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu $R=6\ \text{cm}$ każdy bok naprzeciw kąta $\theta$ ma długość $2R\sin\theta=12\sin\theta$.

a) Trzeci kąt ma miarę $75^\circ$. Obwód wynosi

$$12(\sin45^\circ+\sin60^\circ+\sin75^\circ) =3(3\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt6)\ \text{cm}.$$

b) Trzeci kąt ma miarę $15^\circ$. Zatem

$$12(\sin30^\circ+\sin135^\circ+\sin15^\circ) =3(2+\sqrt2+\sqrt6)\ \text{cm}.$$

Na skanie sprawdzamy oznaczenia: $BP=x$, $PA=y$, $BC=a$ i $CA=b$. W trójkącie $BCP$ twierdzenie sinusów daje

$$\frac{x}{a} =\frac{\sin\frac\gamma2}{\sin\angle BPC}.$$

W trójkącie $ACP$ analogicznie

$$\frac{y}{b} =\frac{\sin\frac\gamma2}{\sin\angle APC}.$$

Punkty $A,P,B$ są współliniowe, więc kąty $BPC$ i $APC$ są dopełniające do $180^\circ$. Ich sinusy są równe. Prawe strony obu równości są zatem równe, co dowodzi, że

$$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}.$$

Z podanych wzorów na pole wynika

$$2P=ab\sin\gamma=ac\sin\beta=bc\sin\alpha.$$

Dzielimy wszystkie trzy wyrażenia przez dodatni iloczyn $abc$:

$$\frac{2P}{abc} =\frac{\sin\gamma}{c} =\frac{\sin\beta}{b} =\frac{\sin\alpha}{a}.$$

Wszystkie występujące wielkości są dodatnie, więc po odwróceniu równości otrzymujemy

$$\frac{a}{\sin\alpha} =\frac{b}{\sin\beta} =\frac{c}{\sin\gamma}.$$

Dla kąta $\gamma$ zawartego między bokami $a$ i $b$ pole ma postać

$$P=\frac12ab\sin\gamma.$$

Z rozszerzonego twierdzenia sinusów

$$\frac{c}{\sin\gamma}=2R,$$

czyli $\sin\gamma=\frac{c}{2R}$. Po podstawieniu:

$$P=\frac12ab\cdot\frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}.$$

Ponieważ $\alpha$ i $\beta$ są ostre, funkcja sinus jest na przedziale $(0^\circ;90^\circ)$ rosnąca. Z $\alpha>\beta$ wynika zatem

$$\sin\alpha>\sin\beta.$$

Z twierdzenia sinusów

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}>1,$$

więc $a>b$.

Trójkąt równoboczny o boku $6$ ma promień okręgu opisanego

$$R=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.$$

a) W trójkącie $APC$ bok $PC$ leży naprzeciw kąta $PAC$. Z rozszerzonego twierdzenia sinusów:

$$\sin\angle PAC=\frac{PC}{2R} =\frac{3\sqrt2+\sqrt6}{4\sqrt3} =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

b) Na skanie punkt $P$ leży na mniejszym łuku $AB$. Niech $\varphi=\angle ACP$. Ponieważ $\angle ACB=60^\circ$, mamy $\angle BCP=60^\circ-\varphi$. Ponadto $\angle APC=\angle ABC=60^\circ$, więc w trójkącie $APC$

$$\angle PAC=120^\circ-\varphi.$$

Wszystkie rozpatrywane trójkąty są wpisane w ten sam okrąg, zatem

$$AP=2R\sin\varphi,$$ $$BP=2R\sin(60^\circ-\varphi),$$ $$CP=2R\sin(120^\circ-\varphi) =2R\sin(60^\circ+\varphi).$$

Korzystamy z tożsamości

$$\sin\varphi+\sin(60^\circ-\varphi) =\sin(60^\circ+\varphi).$$

Po pomnożeniu jej przez $2R$ otrzymujemy

$$AP+BP=CP.$$