NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 27

Równanie miejsc zerowych ma postać

$$x^2-2mx+m^2+m=0.$$

Dwa różne pierwiastki istnieją, gdy

$$\Delta=(-2m)^2-4(m^2+m)=-4m>0,$$

czyli $m<0$. Aby oba były ujemne, ich suma ma być ujemna, a iloczyn dodatni. Ze wzorów Viète’a:

$$x_1+x_2=2m<0,qquad x_1x_2=m(m+1)>0.$$

Przy $m<0$ drugi warunek zachodzi dokładnie dla $m<-1$.

Dwa różne pierwiastki istnieją dokładnie wtedy, gdy $\Delta>0$.

a)

$$\Delta=4-12m=4(1-3m)>0 \iff m<\frac13.$$

Dla tych wartości

$$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-3m}}3.$$

b)

$$\Delta=(2m+1)^2-20=4m^2+4m-19.$$

Miejsca zerowe tego trójmianu względem $m$ to $\frac{-1\pm2\sqrt5}{2}$. Ponieważ współczynnik przy $m^2$ jest dodatni,

$$m\in\left(-\infty;\frac{-1-2\sqrt5}{2}\right) \cup\left(\frac{-1+2\sqrt5}{2};\infty\right).$$

Wtedy

$$x_{1,2}=\frac{-2m-1\pm\sqrt{4m^2+4m-19}}2.$$

c)

$$\Delta=m^2+4m=m(m+4)>0$$

dla $m\in(-\infty;-4)\cup(0;\infty)$. Wówczas

$$x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2+4m}}2.$$

a)

$$\Delta=(m-1)^2-4(2m-5)=m^2-10m+21=(m-3)(m-7).$$

Zatem równanie ma dwa pierwiastki dla $m<3$ lub $m>7$, jeden pierwiastek podwójny dla $m=3$ lub $m=7$, a żadnego dla $3<m<7$.

b) Po zebraniu wyrazów równanie ma postać $-2x^2+(2m+2)x+m-\frac12=0$, a

$$\Delta=(2m+2)^2+8\left(m-\frac12\right)=4m(m+4).$$

Ma dwa pierwiastki dla $m<-4$ lub $m>0$, jeden podwójny dla $m=-4$ lub $m=0$, a żadnego dla $-4<m<0$.