NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 26

Sprawdzamy wyróżnik, a następnie znaki sumy $-b/a$ i iloczynu $c/a$.

a) $\Delta=5>0$, a iloczyn $-1<0$: pierwiastki mają różne znaki.

b) $\Delta=4>0$, iloczyn $\frac1{15}>0$, suma $-\frac8{15}<0$: oba pierwiastki są ujemne.

c) $\Delta=13>0$, iloczyn $\frac3{13}>0$, suma $1>0$: oba pierwiastki są dodatnie.

d) $\Delta=13^2-4\cdot13\cdot4=-39<0$: brak pierwiastków rzeczywistych.

e) $\Delta=25-8\sqrt3>0$, iloczyn $\frac2{\sqrt3}>0$, suma $\frac5{\sqrt3}>0$: oba pierwiastki są dodatnie.

f) $\Delta=1+4\sqrt2>0$, iloczyn $-\sqrt2<0$: pierwiastki mają różne znaki.

Ponieważ $c\ne0$, ze wzoru $x_1x_2=c/a$ wynika, że oba pierwiastki są niezerowe. Możemy więc zapisać

$$\frac1{x_1}+\frac1{x_2} =\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}.$$

Po użyciu wzorów Viète’a otrzymujemy

$$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} =\frac{-b/a}{c/a}=-\frac bc,$$

co kończy dowód.

Dla istniejących, niezerowych pierwiastków korzystamy z udowodnionego wzoru

$$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=-\frac bc.$$

Wyróżniki wszystkich trzech równań są dodatnie, a $c\ne0$.

a) $-\frac bc=-\frac{-1}{-1}=-1$.
b) $-\frac bc=-\frac{-8}{-3}=-\frac83$.
c) $-\frac bc=-\frac{20}{-6}=\frac{10}{3}$.

Korzystamy z tożsamości

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

oraz ze wzorów Viète’a.

a) $\Delta=5>0$, suma pierwiastków wynosi $1$, a iloczyn $-1$. Zatem $x_1^2+x_2^2=1^2-2(-1)=3$.

b) $\Delta=60>0$, suma wynosi $-3$, a iloczyn $-\frac32$. Stąd $x_1^2+x_2^2=(-3)^2-2(-\frac32)=12$.

c) $\Delta=(-4)^2-4\cdot3\cdot2=-8<0$, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Stosujemy

$$x_1^2+x_2^2=\left(-\frac ba\right)^2-2\frac ca.$$

W każdym podpunkcie wyróżnik jest dodatni.

a) $(-9)^2-2\cdot6=69$.
b) $3^2-2\cdot(-\frac32)=12$.
c) $(-2\sqrt2)^2-2\cdot(-2)=12$.

Korzystamy z tożsamości

$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 =\left(-\frac ba\right)^2-4\frac ca.$$

a) $\left(\frac13\right)^2-4(-\frac13)=\frac{13}{9}$.
b) $\left(\frac52\right)^2-4(-2)=\frac{57}{4}$.
c) $\left(-\frac12\right)^2-4(-4)=\frac{65}{4}$.

Warunek $c\ne0$ daje $x_1x_2=c/a\ne0$, więc oba pierwiastki są niezerowe. Ze wskazówki i wzorów Viète’a:

$$\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2} =\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} =\frac{\left(-\frac ba\right)^2-2\frac ca} {\left(\frac ca\right)^2}.$$

Po uproszczeniu:

$$\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}\right)\frac{a^2}{c^2} =\frac{b^2}{c^2}-2\frac ac.$$

Stosujemy wzór udowodniony w Zadaniu 6:

$$\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}=\frac{b^2}{c^2}-2\frac ac.$$

a) $\frac{10^2}{10^2}-2\frac{-1}{10}=\frac65$.
b) $\frac1{(-2)^2}-2\frac{1/4}{-2}=\frac12$.
c) $\frac{3^2}{7^2}-2\frac{-1}{7}=\frac{23}{49}$.

Dla zadanej sumy $S$ i iloczynu $P$ kandydatem jest $x^2-Sx+P=0$.

a) Otrzymujemy $x^2-7x+3=0$. Jego wyróżnik wynosi $49-12=37>0$, więc takie równanie istnieje.

b) Kandydat $x^2-3x+7=0$ ma wyróżnik $9-28=-19<0$. Nie istnieją dwa rzeczywiste pierwiastki o takiej sumie i iloczynie.

Jeśli pierwotne pierwiastki mają sumę $S$ i iloczyn $P$, to liczby $2x_1,2x_2$ mają sumę $2S$ i iloczyn $4P$.

a) $S=5$, $P=1$, więc nowa suma to $10$, a iloczyn $4$: $x^2-10x+4=0.$

b) Dla $-x^2+6x-2=0$ mamy $S=6$, $P=2$. Nowa suma to $12$, a iloczyn $8$: $x^2-12x+8=0.$

c) $S=3$, $P=\frac12$, więc nowa suma to $6$, a iloczyn $2$: $x^2-6x+2=0.$