Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 268

rozdział 5. Planimetria · temat „5.11. Twierdzenie sinusów” · 5 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

2 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Oznaczmy standardowo a=∣BC∣a=|BC|, b=∣CA∣b=|CA|, c=∣AB∣c=|AB|.

a) Z twierdzenia sinusów:

asin⁡60∘=csin⁡γ,\frac{a}{\sin60^\circ}=\frac{c}{\sin\gamma},

czyli

sin⁡γ=6sin⁡60∘3=22.\sin\gamma=\frac{\sqrt6\sin60^\circ}{3} =\frac{\sqrt2}{2}.

Kąt 135∘135^\circ jest niemożliwy, bo razem z 60∘60^\circ przekraczałby 180∘180^\circ. Zatem γ=45∘\gamma=45^\circ, a

β=180∘−60∘−45∘=75∘.\beta=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ.

b) Tym razem

sin⁡β=bsin⁡αa=36sin⁡120∘9=22.\sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a} =\frac{3\sqrt6\sin120^\circ}{9}=\frac{\sqrt2}{2}.

Ze względu na α=120∘\alpha=120^\circ dopuszczalny jest tylko kąt β=45∘\beta=45^\circ. Stąd

γ=180∘−120∘−45∘=15∘.\gamma=180^\circ-120^\circ-45^\circ=15^\circ.
Odpowiedź

a) ∣∢ABC∣=75∘|\sphericalangle ABC|=75^\circ, ∣∢ACB∣=45∘|\sphericalangle ACB|=45^\circ;
b) ∣∢ABC∣=45∘|\sphericalangle ABC|=45^\circ, ∣∢ACB∣=15∘|\sphericalangle ACB|=15^\circ.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Korzystamy z rozszerzonego twierdzenia sinusów:

asin⁡α=2R.\frac{a}{\sin\alpha}=2R.

a)

R=102sin⁡120∘=103=1033.R=\frac{10}{2\sin120^\circ} =\frac{10}{\sqrt3}=\frac{10\sqrt3}{3}.

b) Bok naprzeciw kąta 135∘135^\circ ma długość

a=2Rsin⁡135∘=12⋅22=62.a=2R\sin135^\circ =12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=6\sqrt2.

c) Kąt przy wierzchołku ma miarę

180∘−2⋅15∘=150∘.180^\circ-2\cdot15^\circ=150^\circ.

Jeżeli podstawa ma długość aa, to

R=a2sin⁡150∘=a2⋅12=a.R=\frac{a}{2\sin150^\circ} =\frac{a}{2\cdot\frac12}=a.

Promień jest więc równy długości podstawy.

Odpowiedź

a) R=1033R=\frac{10\sqrt3}{3};
b) bok ma długość 626\sqrt2;
c) RR jest równy długości podstawy trójkąta.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Stosujemy twierdzenie sinusów i za każdym razem sprawdzamy oba kąty o danym sinusie.

a)

sin⁡β=6sin⁡30∘4=34.\sin\beta=\frac{6\sin30^\circ}{4}=\frac34.

Daje to dwa trójkąty:

β1≈48,5∘,γ1≈101,5∘,c1=4sin⁡γ1sin⁡30∘≈7,85,β2≈131,5∘,γ2≈18,5∘,c2=4sin⁡γ2sin⁡30∘≈2,48.\begin{aligned} &\beta_1\approx48{,}5^\circ, &&\gamma_1\approx101{,}5^\circ, &&c_1=\frac{4\sin\gamma_1}{\sin30^\circ}\approx7{,}85,\\ &\beta_2\approx131{,}5^\circ,&&\gamma_2\approx18{,}5^\circ, &&c_2=\frac{4\sin\gamma_2}{\sin30^\circ}\approx2{,}48. \end{aligned}

b)

sin⁡β=10sin⁡45∘9=529.\sin\beta=\frac{10\sin45^\circ}{9}=\frac{5\sqrt2}{9}.

Otrzymujemy

β1≈52∘,γ1≈83∘,c1≈12,63,β2≈128∘,γ2≈7∘,c2≈1,55.\begin{aligned} &\beta_1\approx52^\circ, &&\gamma_1\approx83^\circ, &&c_1\approx12{,}63,\\ &\beta_2\approx128^\circ,&&\gamma_2\approx7^\circ, &&c_2\approx1{,}55. \end{aligned}

c)

sin⁡γ=12sin⁡60∘11=6311.\sin\gamma=\frac{12\sin60^\circ}{11}=\frac{6\sqrt3}{11}.

Stąd

γ1≈71∘,α1≈49∘,a1=11sin⁡α1sin⁡60∘≈9,59,γ2≈109∘,α2≈11∘,a2=11sin⁡α2sin⁡60∘≈2,42.\begin{aligned} &\gamma_1\approx71^\circ, &&\alpha_1\approx49^\circ, &&a_1=\frac{11\sin\alpha_1}{\sin60^\circ}\approx9{,}59,\\ &\gamma_2\approx109^\circ,&&\alpha_2\approx11^\circ, &&a_2=\frac{11\sin\alpha_2}{\sin60^\circ}\approx2{,}42. \end{aligned}

d)

sin⁡α=10sin⁡150∘20=14.\sin\alpha=\frac{10\sin150^\circ}{20}=\frac14.

Drugi kąt o tym sinusie nie mieści się z 150∘150^\circ w trójkącie. Zatem

α≈14,5∘,β≈15,5∘,\alpha\approx14{,}5^\circ,\qquad \beta\approx15{,}5^\circ,

oraz

b=20sin⁡βsin⁡150∘≈10,7.b=\frac{20\sin\beta}{\sin150^\circ}\approx10{,}7.
Odpowiedź

a) c≈7,85c\approx7{,}85, β≈48,5∘\beta\approx48{,}5^\circ, γ≈101,5∘\gamma\approx101{,}5^\circ lub c≈2,48c\approx2{,}48, β≈131,5∘\beta\approx131{,}5^\circ, γ≈18,5∘\gamma\approx18{,}5^\circ;
b) c≈12,63c\approx12{,}63, β≈52∘\beta\approx52^\circ, γ≈83∘\gamma\approx83^\circ lub c≈1,55c\approx1{,}55, β≈128∘\beta\approx128^\circ, γ≈7∘\gamma\approx7^\circ;
c) a≈9,59a\approx9{,}59, α≈49∘\alpha\approx49^\circ, γ≈71∘\gamma\approx71^\circ lub a≈2,42a\approx2{,}42, α≈11∘\alpha\approx11^\circ, γ≈109∘\gamma\approx109^\circ;
d) b≈10,7b\approx10{,}7, α≈14,5∘\alpha\approx14{,}5^\circ, β≈15,5∘\beta\approx15{,}5^\circ.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Korzystamy z twierdzenia sinusów. W przypadkach a)–c) sinus drugiego kąta odpowiada dwóm kątom z przedziału (0∘;180∘)(0^\circ;180^\circ) i oba prowadzą do trójkąta, dlatego trzeba podać dwa rozwiązania.

a)

sin⁡β=bsin⁡αa=56.\sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a}=\frac{5}{6}.

Stąd β1≈56,5∘\beta_1\approx56{,}5^\circ lub β2≈123,5∘\beta_2\approx123{,}5^\circ. Zatem

γ1≈93,5∘,γ2≈26,5∘,\gamma_1\approx93{,}5^\circ,\qquad \gamma_2\approx26{,}5^\circ,

a następnie

c1=3sin⁡γ1sin⁡30∘≈6,c2=3sin⁡γ2sin⁡30∘≈2,7.c_1=\frac{3\sin\gamma_1}{\sin30^\circ}\approx6, \qquad c_2=\frac{3\sin\gamma_2}{\sin30^\circ}\approx2{,}7.

b)

sin⁡β=10sin⁡45∘8=528.\sin\beta=\frac{10\sin45^\circ}{8}=\frac{5\sqrt2}{8}.

Otrzymujemy

β1≈62∘,γ1≈73∘,c1=8sin⁡γ1sin⁡45∘≈10,8,β2≈118∘,γ2≈17∘,c2=8sin⁡γ2sin⁡45∘≈3,3.\begin{aligned} &\beta_1\approx62^\circ, &&\gamma_1\approx73^\circ, &&c_1=\frac{8\sin\gamma_1}{\sin45^\circ}\approx10{,}8,\\ &\beta_2\approx118^\circ,&&\gamma_2\approx17^\circ, &&c_2=\frac{8\sin\gamma_2}{\sin45^\circ}\approx3{,}3. \end{aligned}

c)

sin⁡β=10sin⁡60∘9=539.\sin\beta=\frac{10\sin60^\circ}{9}=\frac{5\sqrt3}{9}.

Stąd

β1≈74∘,γ1≈46∘,c1=9sin⁡γ1sin⁡60∘≈7,5,β2≈106∘,γ2≈14∘,c2=9sin⁡γ2sin⁡60∘≈2,5.\begin{aligned} &\beta_1\approx74^\circ, &&\gamma_1\approx46^\circ, &&c_1=\frac{9\sin\gamma_1}{\sin60^\circ}\approx7{,}5,\\ &\beta_2\approx106^\circ,&&\gamma_2\approx14^\circ, &&c_2=\frac{9\sin\gamma_2}{\sin60^\circ}\approx2{,}5. \end{aligned}

d)

sin⁡α=asin⁡βb=sin⁡45∘2=24,\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b} =\frac{\sin45^\circ}{2}=\frac{\sqrt2}{4},

więc α≈21∘\alpha\approx21^\circ. Kąt 159∘159^\circ o tym samym sinusie jest niedopuszczalny, ponieważ razem z β=45∘\beta=45^\circ przekraczałby 180∘180^\circ. Zatem

γ≈114∘,c=2sin⁡γsin⁡45∘≈2,6.\gamma\approx114^\circ,\qquad c=\frac{2\sin\gamma}{\sin45^\circ}\approx2{,}6.
Odpowiedź

a) β1≈56,5∘\beta_1\approx56{,}5^\circ, γ1≈93,5∘\gamma_1\approx93{,}5^\circ, c1≈6c_1\approx6 lub β2≈123,5∘\beta_2\approx123{,}5^\circ, γ2≈26,5∘\gamma_2\approx26{,}5^\circ, c2≈2,7c_2\approx2{,}7;
b) β1≈62∘\beta_1\approx62^\circ, γ1≈73∘\gamma_1\approx73^\circ, c1≈10,8c_1\approx10{,}8 lub β2≈118∘\beta_2\approx118^\circ, γ2≈17∘\gamma_2\approx17^\circ, c2≈3,3c_2\approx3{,}3;
c) β1≈74∘\beta_1\approx74^\circ, γ1≈46∘\gamma_1\approx46^\circ, c1≈7,5c_1\approx7{,}5 lub β2≈106∘\beta_2\approx106^\circ, γ2≈14∘\gamma_2\approx14^\circ, c2≈2,5c_2\approx2{,}5;
d) α≈21∘\alpha\approx21^\circ, γ≈114∘\gamma\approx114^\circ, c≈2,6c\approx2{,}6.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Korzystamy ze wzoru

R=a2sin⁡α.R=\frac{a}{2\sin\alpha}.

a)

R=42sin⁡135∘=22.R=\frac{4}{2\sin135^\circ}=2\sqrt2.

b) Najpierw

α=180∘−107∘−43∘=30∘,\alpha=180^\circ-107^\circ-43^\circ=30^\circ,

więc

R=72sin⁡30∘=7.R=\frac{7}{2\sin30^\circ}=7.

c)

R=102sin⁡135∘=52.R=\frac{10}{2\sin135^\circ}=5\sqrt2.

d)

R=72sin⁡120∘=733.R=\frac{7}{2\sin120^\circ}=\frac{7\sqrt3}{3}.

e) Z równości α=4γ\alpha=4\gamma i sumy kątów:

4γ+30∘+γ=180∘,4\gamma+30^\circ+\gamma=180^\circ,

czyli γ=30∘\gamma=30^\circ i α=120∘\alpha=120^\circ. Zatem

R=32sin⁡120∘=3.R=\frac{3}{2\sin120^\circ}=\sqrt3.

f) Mamy γ=90∘\gamma=90^\circ, więc

R=112sin⁡90∘=112=5,5.R=\frac{11}{2\sin90^\circ}=\frac{11}{2}=5{,}5.
Odpowiedź

a) 222\sqrt2; b) 77; c) 525\sqrt2;
d) 733\frac{7\sqrt3}{3}; e) 3\sqrt3; f) 5,55{,}5.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem