NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 267

Przy danych dwóch bokach i kącie naprzeciw jednego z nich sprawdzamy także kąt dopełniający znaleziony kąt do $180^\circ$. Może on wyznaczać drugi trójkąt tylko wtedy, gdy suma z kątem danym jest mniejsza niż $180^\circ$.

a) Z twierdzenia sinusów

$$\sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a} =\frac{6\sin80^\circ}{7}\approx0{,}84412.$$

Stąd $\beta_1\approx57{,}58^\circ$. Druga możliwość, $\beta_2\approx122{,}42^\circ$, odpada, ponieważ $80^\circ+122{,}42^\circ>180^\circ$. Zatem

$$\gamma\approx180^\circ-80^\circ-57{,}58^\circ=42{,}42^\circ,$$ $$c=\frac{7\sin\gamma}{\sin80^\circ}\approx4{,}79.$$

b)

$$\sin\beta=\frac{6\sin30^\circ}{3}=1,$$

więc $\beta=90^\circ$ i $\gamma=60^\circ$. Ponadto

$$c=\frac{3\sin60^\circ}{\sin30^\circ}=3\sqrt3\approx5{,}20.$$

c)

$$\sin\beta=\frac{9\sin45^\circ}{10} =\frac{9\sqrt2}{20}\approx0{,}63640.$$

Otrzymujemy $\beta_1\approx39{,}52^\circ$. Kąt $\beta_2\approx140{,}48^\circ$ nie jest możliwy, bo wraz z $\gamma=45^\circ$ dałby sumę większą niż $180^\circ$. Zatem

$$\alpha\approx95{,}48^\circ, \qquad a=\frac{10\sin\alpha}{\sin45^\circ}\approx14{,}08.$$

d)

$$\sin\gamma=\frac{4\sin60^\circ}{5} =\frac{2\sqrt3}{5}\approx0{,}69282.$$

Stąd $\gamma_1\approx43{,}85^\circ$. Kąt $\gamma_2\approx136{,}15^\circ$ odpada, ponieważ jego suma z $\beta=60^\circ$ przekracza $180^\circ$. Wobec tego

$$\alpha\approx76{,}15^\circ, \qquad a=\frac{5\sin\alpha}{\sin60^\circ}\approx5{,}61.$$

Dokładną wartość boku można dodatkowo uzyskać z twierdzenia cosinusów dla kąta $\beta=60^\circ$:

$$5^2=a^2+4^2-2\cdot a\cdot4\cos60^\circ,$$ $$a^2-4a-9=0.$$

Jedynym dodatnim pierwiastkiem jest $a=2+\sqrt{13}$.

a) Gdyby taki trójkąt istniał, to z twierdzenia sinusów mielibyśmy

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}.$$

Zatem

$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b} =\frac{3\sin60^\circ}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}>1.$$

Sinus kąta nie może być większy od $1$, więc taki trójkąt nie istnieje.

b) Analogicznie

$$\sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a} =\frac{4\sin45^\circ}{2}=\sqrt2>1.$$

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że także w tym podpunkcie trójkąt nie istnieje.