NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 257

Niech promień wpisanego okręgu będzie równy $r$. Okrąg jest styczny do obu par przeciwległych boków prostokąta. Odległość między dwiema równoległymi stycznymi leżącymi po przeciwnych stronach okręgu jest równa jego średnicy, czyli $2r$. Każdy z dwóch wymiarów prostokąta jest więc równy $2r$. Sąsiednie boki mają równe długości, a zatem prostokąt jest kwadratem.

Oznaczmy długości odcinków stycznych poprowadzonych z kolejnych wierzchołków $A,B,C,D$ odpowiednio przez $t_A,t_B,t_C,t_D$. Dwa odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu do okręgu mają równe długości. Dlatego

Po dodaniu długości boków przeciwległych otrzymujemy

oraz

Zatem $AB+CD=BC+AD$, co należało udowodnić.

Sprawdzamy warunek równości sum długości boków przeciwległych.

a)

Sumy nie są równe, więc okręgu nie można wpisać.

b)

Warunek jest spełniony, więc okrąg można wpisać.

c)

Także tutaj warunek jest spełniony.

Niech sąsiednie boki równoległoboku mają długości $a$ i $b$. Jego kolejne boki mają więc długości $a,b,a,b$. Jeżeli można w niego wpisać okrąg, to sumy boków przeciwległych są równe:

Stąd $a=b$, a więc wszystkie cztery boki równoległoboku są równe. Równoległobok jest zatem rombem.

Założenie wypukłości jest tu istotne: pokazany obok czworokąt niewypukły spełnia formalną równość sum boków, ale nie można w niego wpisać okręgu.