NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 258

a) W trapezie równoramiennym oba ramiona mają tę samą długość $c$. Warunek istnienia okręgu wpisanego daje

$$5+9=2c,$$

więc $c=7$ cm. Połowa różnicy podstaw ma długość $2$ cm, zatem wysokość wynosi

$$h=\sqrt{7^2-2^2}=3\sqrt5\ \text{cm}.$$

Pole trapezu jest równe

$$P=\frac{5+9}{2}\cdot3\sqrt5=21\sqrt5\ \text{cm}^2.$$

b) Niech prostopadłe ramię trapezu ma długość $h$, a drugie ramię $c$. Różnica podstaw wynosi $3-1=2$ cm, więc

$$c=\sqrt{h^2+2^2}.$$

Z warunku styczności $1+3=h+c$, czyli $c=4-h$. Stąd

$$h^2+4=(4-h)^2,$$

co daje $h=\frac32$ cm oraz $c=4-h=\frac52$ cm.

Wysokość trapezu jest średnicą wpisanego okręgu:

$$h=2r=8\ \text{cm}.$$

Jeśli podstawy mają długości $a,b$, to z warunku styczności i równości ramion długości $10$ wynika

$$a+b=10+10=20.$$

Pole trapezu jest więc równe

$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h =\frac{20}{2}\cdot8=80\ \text{cm}^2.$$

Wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu, czyli $h=2$ cm. Przy kącie ostrym $45^\circ$ rzut poziomy każdego ramienia ma długość

$$\frac{h}{\tan45^\circ}=2\ \text{cm},$$

więc różnica podstaw wynosi $4$ cm. Długość ramienia jest równa

$$c=\frac{h}{\sin45^\circ}=2\sqrt2\ \text{cm}.$$

Z warunku dla trapezu opisanego na okręgu suma podstaw wynosi

$$a+b=2c=4\sqrt2.$$

Rozwiązujemy układ

$$a+b=4\sqrt2, \qquad a-b=4,$$

gdzie $a>b$. Otrzymujemy

$$a=2(\sqrt2+1), \qquad b=2(\sqrt2-1).$$

a) W trapezie opisanym na okręgu sumy długości boków przeciwległych są równe. Ponieważ trapez jest równoramienny, długość każdego ramienia wynosi

$$c=\frac{8+18}{2}=13\ \text{cm}.$$

Połowa różnicy podstaw jest równa $5$ cm, więc wysokość trapezu wynosi

$$h=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \text{cm}.$$

Stąd

$$P=\frac{8+18}{2}\cdot12=156\ \text{cm}^2.$$

b) Odległość podstaw trapezu jest równa średnicy wpisanego okręgu, czyli $h=4$ cm. Z warunku dla czworokąta opisanego

$$a+b=5+7=12\ \text{cm}.$$

Obwód wynosi więc

$$Ob=(a+b)+(5+7)=24\ \text{cm},$$

a pole

$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{12}{2}\cdot4=24\ \text{cm}^2.$$

c) Wysokość trapezu wynosi $h=2r=8$ cm. Połowa różnicy podstaw ma długość $6$ cm, dlatego ramię trapezu jest równe

$$c=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \text{cm}.$$

Poprawny warunek styczności ma postać

$$a+b=AD+BC=2c=20\ \text{cm}.$$

Zatem podstawy mają długości $16$ cm i $4$ cm. Pole i obwód wynoszą

$$P=\frac{20}{2}\cdot8=80\ \text{cm}^2, \qquad Ob=20+2\cdot10=40\ \text{cm}.$$

Połączmy środek wpisanego okręgu ze wszystkimi wierzchołkami czworokąta. Powstają cztery trójkąty, których podstawami są kolejne boki $a,b,c,d$ czworokąta. Wysokość każdego z nich jest równa promieniowi $r$, ponieważ promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do boku. Zatem

$$P=\frac12ar+\frac12br+\frac12cr+\frac12dr =\frac12r(a+b+c+d).$$

Ponieważ $l=a+b+c+d$, otrzymujemy

$$P=\frac12rl.$$