NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 255

a) Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny. Podstawa będąca średnicą ma długość $10$ cm. Druga podstawa jest cięciwą równoległą do średnicy, odległą od środka o wysokość trapezu, czyli o $4$ cm. Jej połowa ma długość

$$\sqrt{5^2-4^2}=3\ \text{cm},$$

zatem cała podstawa ma $6$ cm. Rzut poziomy każdego ramienia ma $\frac{10-6}{2}=2$ cm, więc ramię ma długość

$$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5\ \text{cm}.$$

Obwód wynosi

$$10+6+2\cdot2\sqrt5=4(4+\sqrt5)\ \text{cm}.$$

b) Oznaczmy średnicę przez $AB$, a wierzchołek drugiej podstawy przez $C$ tak, że przekątna $AC$ tworzy z $AB$ kąt $30^\circ$. Trójkąt $ACB$ jest prostokątny w $C$, ponieważ $AB$ jest średnicą. Składowa prostopadła odcinka $AC$ jest wysokością trapezu, zatem

$$AC\sin30^\circ=2, \qquad AC=4\ \text{cm}.$$

Ponadto $AC=AB\cos30^\circ$, więc

$$AB=\frac4{\cos30^\circ}=\frac{8\sqrt3}{3}\ \text{cm}.$$

Promień stanowi połowę średnicy:

$$R=\frac{4\sqrt3}{3}\ \text{cm}.$$

Odległość środka okręgu o promieniu $5$ od cięciwy długości $8$ jest równa

$$d_8=\sqrt{5^2-4^2}=3,$$

a od cięciwy długości $6$:

$$d_6=\sqrt{5^2-3^2}=4.$$

a) Podstawy leżą po przeciwnych stronach środka, więc wysokość trapezu wynosi $d_8+d_6=7$. Stąd

$$P=\frac{8+6}{2}\cdot7=49.$$

b) Obie podstawy leżą po tej samej stronie środka, więc wysokość jest równa $d_6-d_8=1$. Zatem

$$P=\frac{8+6}{2}\cdot1=7.$$

Opuśćmy z $O$ prostopadłą na dłuższą podstawę $AB$. W powstałym trójkącie prostokątnym promień $OA$ jest przeciwprostokątną, a kąt przy $A$ ma $30^\circ$. Odległość środka od $AB$ wynosi więc $R/2$, natomiast

$$AB=2R\cos30^\circ=R\sqrt3.$$

a) Dla $R=4$ odległość $O$ od $AB$ wynosi $2$. Ponieważ wysokość jest równa $5$, druga podstawa leży po przeciwnej stronie środka i jest od niego odległa o $5-2=3$. Zatem

$$CD=2\sqrt{4^2-3^2}=2\sqrt7\ \text{cm},$$

a $AB=4\sqrt3$ cm.

b) Dla $R=10$ odległość $O$ od $AB$ wynosi $5$. Druga podstawa ma być krótsza od $AB$, więc musi leżeć dalej od środka, w odległości $5+3=8$. Gdyby leżała w odległości $2$, byłaby dłuższa niż $AB$. Ostatecznie

$$CD=2\sqrt{10^2-8^2}=12\ \text{cm},$$

a $AB=10\sqrt3$ cm.

Niech krótsza podstawa ma długość $x$, a dłuższa $2x$. Oznaczmy trapez przez $ABCD$, gdzie $AB=2x$, $CD=x$, i niech przekątna $AC$ dzieli kąt przy $A$ na połowy. Zatem

$$|\angle DAC|=|\angle CAB|.$$

Ponieważ $AB\parallel CD$, mamy też $|\angle CAB|=|\angle ACD|$. Trójkąt $ACD$ jest więc równoramienny, skąd

$$AD=CD=x.$$

Drugi bok trapezu również ma długość $x$.

Rzut poziomy ramienia ma długość $(2x-x)/2=x/2$, więc wysokość wynosi

$$h=\sqrt{x^2-\left(\frac x2\right)^2}=\frac{x\sqrt3}{2}.$$

Z warunku pola

$$9=\frac{2x+x}{2}\cdot\frac{x\sqrt3}{2} =\frac{3\sqrt3}{4}x^2$$

otrzymujemy $x^2=4\sqrt3$, czyli $x=2\sqrt[4]{3}$ cm.

Ponadto przekątna $DB$ spełnia

$$DB^2=\left(\frac{3x}{2}\right)^2+h^2=3x^2,$$

więc $AD^2+DB^2=x^2+3x^2=(2x)^2=AB^2$. Trójkąt $ADB$ jest prostokątny, a zatem $AB$ jest średnicą okręgu opisanego. Promień wynosi $R=x$, toteż

$$P_k=\pi x^2=4\pi\sqrt3\ \text{cm}^2.$$

Oznaczmy kolejne boki deltoidu tak, że $AB=BC=x$ oraz $CD=DA=y$. W deltoidzie kąty przy $A$ i $C$ są równe. Ponieważ deltoid jest wpisany w okrąg, kąty te są przeciwległe i mają sumę $180^\circ$. Każdy z nich ma więc $90^\circ$.

a) Przekątna $BD$ dzieli deltoid na dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $x$ i $y$. Stąd

$$P=2\cdot\frac12xy=xy.$$

b) Dla $x=7$ cm i $y=24$ cm średnica okręgu jest przeciwprostokątną takiego trójkąta:

$$BD=\sqrt{7^2+24^2}=25\ \text{cm}.$$

Zatem promień okręgu opisanego wynosi

$$R=\frac{25}{2}=12{,}5\ \text{cm}.$$

Jak w zadaniu 8, kąty $A$ i $C$ deltoidu wpisanego w okrąg są proste, więc $BD$ jest średnicą. Stąd $BD=2R=26$. Oznaczmy dwie różne długości boków przez $x,y$. Pole deltoidu jest równe $xy$, zatem

$$xy=312.$$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABD$ mamy

$$x^2+y^2=26^2=676.$$

Wobec tego

$$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=676+624=1300,$$

czyli $x+y=10\sqrt{13}$. Obwód deltoidu wynosi

$$2x+2y=20\sqrt{13}.$$

Przekątna $BD$ dzieli deltoid na dwa przystające trójkąty, więc $P_{ABD}=156$. Przy podstawie $BD=26$ wysokość z $A$ ma długość

$$h_A=\frac{2\cdot156}{26}=12.$$

Punkt $O$ jest środkiem średnicy, zatem $OD=13$. Trójkąty $AOD$ i $AOB$ mają tę samą wysokość i równe podstawy, więc

$$P_{AOD}=\frac12\cdot13\cdot12=78.$$

W deltoidzie wpisanym w okrąg dwa równe przeciwległe kąty mają po $90^\circ$, więc przekątna będąca osią symetrii jest średnicą długości $2R=12$. Kąt $\alpha$ przy jednym z końców tej średnicy jest dzielony przez oś symetrii na połowy.

Jedna połowa deltoidu jest więc trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej $12$ i kącie $\alpha/2$. Jej przyprostokątne mają długości $12\sin(\alpha/2)$ i $12\cos(\alpha/2)$. Pole całego deltoidu wynosi

$$P=2\cdot\frac12\cdot12\sin\frac\alpha2\cdot12\cos\frac\alpha2 =72\sin\alpha.$$

a) Dla $\alpha=30^\circ$:

$$P=72\sin30^\circ=36.$$

b) Dla $\alpha=45^\circ$:

$$P=72\sin45^\circ=36\sqrt2.$$