NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 254

Najpierw z sumy kątów czworokąta wyznaczamy $\alpha$, a następnie sprawdzamy, czy obie pary kątów przeciwległych sumują się do $180^\circ$.

a) $10\alpha=360^\circ$, więc $\alpha=36^\circ$. Kąty przeciwległe mają sumy $36^\circ+108^\circ=144^\circ$ oraz $72^\circ+144^\circ=216^\circ$. Okręgu nie można opisać.

b) $12\alpha=360^\circ$, więc $\alpha=30^\circ$. Mamy

$$2\alpha+4\alpha=180^\circ, \qquad \alpha+5\alpha=180^\circ,$$

zatem okrąg można opisać.

c) Ponownie $12\alpha=360^\circ$, więc $\alpha=30^\circ$. Obie pary przeciwległe mają sumę $6\alpha=180^\circ$, zatem okrąg można opisać.

a) Średnicą okręgu opisanego na prostokącie jest jego przekątna:

$$d=\sqrt{6^2+10^2}=2\sqrt{34}.$$

Zatem $R=\sqrt{34}$, a pole koła wynosi

$$P_k=\pi R^2=34\pi.$$

b) Oznaczmy boki prostokąta przez $3x$ i $4x$. Jego przekątna ma długość $5x$, a zarazem jest średnicą okręgu, czyli ma $40$. Stąd $x=8$, więc boki mają długości $24$ i $32$. Pole prostokąta jest równe

$$24\cdot32=768.$$

Oznaczmy krótszy bok prostokąta przez $a$, dłuższy przez $b$, a przekątną przez $d$. Wektory odpowiadające przekątnym można zapisać jako $(b,a)$ i $(b,-a)$. Z warunku, że ich kąt ostry ma $60^\circ$, wynika

$$\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}=\cos60^\circ=\frac12.$$

Stąd $b^2=3a^2$, czyli $b=a\sqrt3$, a

$$d=\sqrt{a^2+b^2}=2a.$$

Promień okręgu opisanego jest równy $R=d/2=a$.

a) Jeśli $a=6$ cm, to $R=6$ cm i

$$P_k=36\pi\ \text{cm}^2.$$

b) Jeśli $b=6$ cm, to $a=\frac6{\sqrt3}=2\sqrt3$ cm. Zatem $R=2\sqrt3$ cm i

$$P_k=\pi(2\sqrt3)^2=12\pi\ \text{cm}^2.$$

Niech $ABCD$ będzie trapezem, $AB\parallel CD$. Z równoległości podstaw wynika

$$|\angle A|+|\angle D|=180^\circ.$$

Ponieważ na trapezie opisano okrąg, jego przeciwległe kąty także są dopełniające:

$$|\angle B|+|\angle D|=180^\circ.$$

Porównanie tych równości daje $|\angle A|=|\angle B|$. Trapez ma więc równe kąty przy podstawie, a zatem jest równoramienny.

Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny. Kąty przy każdej podstawie są więc równe:

$$\alpha=\beta, \qquad \gamma=\delta.$$

Kąty leżące przy jednym ramieniu trapezu są dopełniające, zatem $\alpha+\delta=180^\circ$. Po użyciu danych $\delta=\gamma=4\alpha$ otrzymujemy

$$\alpha+4\alpha=180^\circ,$$

czyli $\alpha=36^\circ$. Stąd

$$\beta=36^\circ, \qquad \gamma=\delta=144^\circ.$$

a) Z przykładu poprzedzającego ćwiczenie: promień okręgu wynosi $2$, $AB$ jest średnicą, a $|\angle A|=60^\circ$. Zatem $AB=4$. W trójkącie prostokątnym $ADB$ mamy

$$AD=AB\cos60^\circ=4\cdot\frac12=2.$$

Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny, więc $BC=AD=2$. Jego górna podstawa ma również długość $2$: rzuty obu ramion na $AB$ mają po $2\cos60^\circ=1$, zatem $CD=4-2=2$. Obwód wynosi

$$4+2+2+2=10.$$

b) Trapez znów jest równoramienny. Oznaczmy promień okręgu przez $R$, połowę drugiej podstawy przez $x$, a wysokość przez $h$. Przyjmijmy współrzędne końców średnicy $(-R,0)$ i $(R,0)$ oraz końców drugiej podstawy $(-x,h)$ i $(x,h)$. Każda przekątna tworzy z dłuższą podstawą ten sam kąt. Skoro kąt ostry między przekątnymi wynosi $60^\circ$, każda z nich tworzy z podstawą kąt $30^\circ$, więc

$$\frac{h}{R+x}=\tan30^\circ=\frac1{\sqrt3}.$$

Ponieważ $(x,h)$ leży na okręgu, $x^2+h^2=R^2$. Po podstawieniu $h=(R+x)/\sqrt3$ dostajemy $x=R/2$. Długość ramienia spełnia

$$1^2=(R-x)^2+h^2=2R(R-x)=R^2,$$

zatem $R=1$ i $x=\frac12$. Podstawy mają długości $2R=2$ oraz $2x=1$, a ramiona po $1$, więc obwód jest równy $5$ cm.