NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 253

Oznaczmy wierzchołki równoległoboku kolejno przez $A,B,C,D$. Kąt $A$ jest kątem wpisanym opartym na łuku $BCD$, a przeciwległy kąt $C$ — na dopełniającym łuku $DAB$. Te łuki tworzą cały okrąg, więc ich miary mają sumę $360^\circ$. Miary kątów wpisanych są połowami miar odpowiednich łuków, zatem

$$|\angle A|+|\angle C|=180^\circ.$$

W równoległoboku kąty przeciwległe są równe. Jeżeli ich wspólną miarę oznaczymy przez $\alpha$, to

$$\alpha+\alpha=180^\circ,$$

zatem $\alpha=90^\circ$. Analogicznie kąty $B$ i $D$ mają po $90^\circ$.

Równoległobok, którego wszystkie kąty są proste, jest prostokątem, co kończy dowód.

a) Z oznaczeń na rysunku otrzymujemy

$$|\angle C|=v+x,\qquad |\angle B|=x+w,$$ $$|\angle A|=w+u,\qquad |\angle D|=u+v.$$

Stąd obie sumy kątów przeciwległych są równe:

$$|\angle A|+|\angle C|=|\angle B|+|\angle D|=u+v+w+x.$$

Suma wszystkich kątów czworokąta ma $360^\circ$, czyli dwukrotność każdej z powyższych równych sum wynosi $360^\circ$. Każda z nich ma więc $180^\circ$.

b) Rozważmy przeciwległe kąty $\angle A$ i $\angle C$. Kąt $\angle A$ jest oparty na łuku $BCD$, a kąt $\angle C$ — na dopełniającym go łuku $DAB$. Te dwa łuki tworzą cały okrąg, więc odpowiadające im kąty środkowe mają łącznie $360^\circ$.

Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym miary $\angle A$ i $\angle C$ są połowami miar odpowiednich kątów środkowych. Zatem

$$|\angle A|+|\angle C|=\frac12\cdot360^\circ=180^\circ.$$

Analogicznie łuki, na których oparte są kąty $\angle B$ i $\angle D$, dopełniają się do całego okręgu, więc

$$|\angle B|+|\angle D|=180^\circ.$$

Teza została wykazana.

Kąty przeciwległe czworokąta wpisanego w okrąg mają sumę $180^\circ$. Jeżeli $\gamma$ jest kątem przeciwległym do $\alpha$, a $\delta$ — do $\beta$, to

$$\gamma=180^\circ-\alpha, \qquad \delta=180^\circ-\beta.$$

a)

$$\gamma=180^\circ-45^\circ=135^\circ, \qquad \delta=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

b)

$$\gamma=180^\circ-100^\circ=80^\circ, \qquad \delta=180^\circ-50^\circ=130^\circ.$$

c)

$$\gamma=180^\circ-120^\circ=60^\circ, \qquad \delta=180^\circ-150^\circ=30^\circ.$$

W czworokącie wpisanym w okrąg zachodzi

$$|\angle A|+|\angle C|=180^\circ, \qquad |\angle B|+|\angle D|=180^\circ.$$

a) Niech $|\angle C|=x$. Wówczas $|\angle A|=2x$, więc

$$3x=180^\circ.$$

Stąd $|\angle C|=60^\circ$ i $|\angle A|=120^\circ$.

Ponieważ $|\angle B|=\frac12|\angle D|$, oznaczamy $|\angle B|=y$, $|\angle D|=2y$. Zatem $3y=180^\circ$, czyli $|\angle B|=60^\circ$ i $|\angle D|=120^\circ$.

b) Z warunku $|\angle A|=3|\angle C|$ oraz sumy tych kątów otrzymujemy

$$4|\angle C|=180^\circ.$$

Zatem

$$|\angle C|=45^\circ, \qquad |\angle A|=135^\circ.$$

Ponadto

$$|\angle B|=2|\angle C|=90^\circ,$$

więc $|\angle D|=180^\circ-90^\circ=90^\circ$.