NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 251

Trójkąt równoboczny ma obwód $3a$, więc połowa jego obwodu jest równa

$$p=\frac{3a}{2}.$$

Każdy trójkąt o promieniu okręgu wpisanego $r$ ma pole $P=pr$. Zatem

$$P=\frac{3a}{2}\,r=\frac32ar,$$

co należało uzasadnić.

a) Dla trójkąta równobocznego zachodzi

$$r=\frac{a\sqrt3}{6}.$$

Po podstawieniu $r=2$ otrzymujemy

$$a=4\sqrt3.$$

Pole trójkąta jest więc równe

$$P=\frac{a^2\sqrt3}{4} =\frac{(4\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=12\sqrt3.$$

b) Promienie okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny mają postacie

$$R=\frac{a\sqrt3}{3}, \qquad r=\frac{a\sqrt3}{6}.$$

Zatem $R=2r$, a stosunek pól kół wynosi

$$\frac{\pi R^2}{\pi r^2}=\left(\frac{R}{r}\right)^2=4.$$

a) Trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ i przeciwprostokątnej $8$ ma przyprostokątne $4$ oraz $4\sqrt3$. Zatem

$$r=\frac{4+4\sqrt3-8}{2}=2(\sqrt3-1).$$

b) Jeżeli krótsza przyprostokątna ma długość $6$, to druga przyprostokątna ma $6\sqrt3$, a przeciwprostokątna $12$. Promień okręgu wpisanego wynosi

$$r=\frac{6+6\sqrt3-12}{2}=3(\sqrt3-1).$$

Jego długość jest więc równa

$$L=2\pi r=6\pi(\sqrt3-1).$$

Pole trójkąta prostokątnego jest równe $P=\frac12ab$, a z zależności $P=pr$ otrzymujemy

$$r=\frac{P}{p}=\frac{ab}{a+b+c}.$$

Z twierdzenia Pitagorasa $c^2=a^2+b^2$. Wobec tego

$$(a+b-c)(a+b+c)=(a+b)^2-c^2=2ab.$$

Dzieląc obie strony przez $2(a+b+c)$, dostajemy

$$\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}=r.$$

To dowodzi wzoru.

Ustawmy trójkąt tak, aby wierzchołek kąta prostego był początkiem układu, a przyprostokątne leżały na osiach. Środek okręgu wpisanego o promieniu $2$ ma wtedy współrzędne $(2,2)$.

Niech rozważany wierzchołek kąta ostrego ma współrzędne $(a,0)$. Z warunku odległości otrzymujemy

$$(a-2)^2+2^2=(2\sqrt{10})^2,$$ $$(a-2)^2=36.$$

Ponieważ wierzchołek leży dalej niż punkt styczności, $a>2$, zatem $a=8$.

Oznaczmy drugą przyprostokątną przez $b$, a przeciwprostokątną przez $c$. Z $r=2$ mamy

$$c=a+b-2r=b+4.$$

Twierdzenie Pitagorasa daje

$$(b+4)^2=8^2+b^2,$$

stąd $b=6$ i $c=10$. Pole trójkąta wynosi

$$P=\frac12\cdot8\cdot6=24.$$

Podstawa trójkąta ma długość

$$a=q-2x.$$

Wysokość opuszczona na podstawę jest równa

$$h=\sqrt{x^2-\left(\frac a2\right)^2}.$$

Ponieważ $P=\frac12ah$ i połowa obwodu wynosi $\frac q2$, promień okręgu wpisanego ma postać

$$r=\frac{P}{q/2}=\frac{ah}{q}.$$

a) Dla $x=15$, $q=54$ mamy $a=24$ i

$$h=\sqrt{15^2-12^2}=9.$$

Zatem

$$r=\frac{24\cdot9}{54}=4, \qquad L=2\pi r=8\pi.$$

b) Dla $x=13$, $q=50$ otrzymujemy $a=24$ oraz

$$h=\sqrt{13^2-12^2}=5.$$

Stąd

$$r=\frac{24\cdot5}{50}=\frac{12}{5}, \qquad L=2\pi r=\frac{24\pi}{5}.$$

Niech $h$ będzie wysokością trójkąta, $r$ — promieniem okręgu wpisanego, a $y$ — długością ramienia. Z podanego stosunku, liczonego od podstawy,

$$r:(h-r)=2:3,$$

więc

$$h=\frac52r.$$

Pole trójkąta wynosi

$$P=\frac12\cdot8\cdot h=4h=10r.$$

Połowa obwodu jest równa $p=4+y$, a zatem

$$P=pr=r(4+y).$$

Ponieważ $r>0$, otrzymujemy $10=4+y$, czyli $y=6$.

W połowie trójkąta prostokątnego mamy przyprostokątną $4$ i przeciwprostokątną $6$, zatem

$$h=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt5.$$

Stąd

$$r=\frac25h=\frac{4\sqrt5}{5}.$$

Pierwszy trójkąt. Połowa podstawy ma długość $3$ cm, a wysokość $4$ cm, więc ramię ma długość $5$ cm. Pole i połowa obwodu wynoszą

$$P_1=\frac12\cdot6\cdot4=12, \qquad p_1=\frac{5+5+6}{2}=8.$$

Zatem

$$r_1=\frac{P_1}{p_1}=\frac32.$$

Drugi trójkąt. Połowa podstawy ma $4$ cm, a wysokość $3$ cm, więc ramię również ma długość $5$ cm. Otrzymujemy

$$P_2=\frac12\cdot8\cdot3=12, \qquad p_2=\frac{5+5+8}{2}=9,$$ $$r_2=\frac{P_2}{p_2}=\frac43.$$

Różnica pól kół jest równa

$$\pi r_1^2-\pi r_2^2 =\pi\left(\frac94-\frac{16}{9}\right) =\frac{17\pi}{36}\ \text{cm}^2.$$

Wysokość trójkąta dzieli podstawę na odcinki długości $2$ cm. Jej długość wynosi

$$h=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt2\ \text{cm}.$$

Pole i połowa obwodu trójkąta są równe

$$P=\frac12\cdot4\cdot4\sqrt2=8\sqrt2, \qquad p=\frac{6+6+4}{2}=8.$$

Promień okręgu wpisanego wynosi więc

$$r=\frac{P}{p}=\sqrt2\ \text{cm}.$$

Środek okręgu leży na wysokości, w odległości $r$ od podstawy. Jego odległość od wierzchołka przy ramionach jest równa

$$h-r=4\sqrt2-\sqrt2=3\sqrt2\ \text{cm}.$$

Odległość od każdego końca podstawy wynosi

$$\sqrt{2^2+r^2}=\sqrt{4+2}=\sqrt6\ \text{cm}.$$

Niech długości odcinków stycznych wychodzących z trzech wierzchołków będą równe $x,y,z$. Na podanym boku mamy

$$x=4, \qquad y=4\sqrt3.$$

Boki trójkąta mają wtedy długości $x+y$, $x+z$, $y+z$, a połowa obwodu wynosi

$$p=x+y+z.$$

Ze wzoru Herona

$$P^2=p(p-a)(p-b)(p-c)=pxyz.$$

Jednocześnie $P=pr$, gdzie $r=4$. Po podniesieniu do kwadratu i skróceniu przez $p>0$ otrzymujemy

$$r^2p=xyz.$$

Zatem

$$16(4+4\sqrt3+z)=16\sqrt3\,z,$$ $$z=\frac{4(1+\sqrt3)}{\sqrt3-1}=8+4\sqrt3.$$

Pozostałe boki mają więc długości

$$x+z=12+4\sqrt3,$$ $$y+z=8+8\sqrt3.$$