NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 250

Korzystamy ze wzoru

$$r=\frac{a+b-c}{2},$$

gdzie $a,b$ są przyprostokątnymi, a $c$ — przeciwprostokątną.

a)

$$c=\sqrt{12^2+16^2}=20, \qquad r=\frac{12+16-20}{2}=4.$$

b)

$$c=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, \qquad r=\frac{2-\sqrt2}{2}.$$

c)

$$c=\sqrt{10^2+24^2}=26, \qquad r=\frac{10+24-26}{2}=4.$$

d)

$$c=\sqrt{2^2+(\sqrt5)^2}=3, \qquad r=\frac{2+\sqrt5-3}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

a) Trójkąty $ACD$ i $CBD$ są prostokątne w punkcie $D$, podobnie jak trójkąt $ABC$ w punkcie $C$. Ponadto

$$\angle CAD=\angle CAB,$$

a drugi kąt ostry trójkąta $ACD$ jest równy $\angle ABC$. Z cechy kąt–kąt otrzymujemy $\triangle ACD\sim\triangle ABC$. Analogicznie $\triangle CBD\sim\triangle ABC$, a więc wszystkie trzy trójkąty są podobne.

b) Ze źródłowego oznaczenia $|AD|=9$, $|DB|=16$, zatem

$$|AB|=16+9=25.$$

Z podobieństwa trójkątów wynikają zależności

$$|AC|^2=|AB|\cdot|AD|=25\cdot9,$$ $$|BC|^2=|AB|\cdot|DB|=25\cdot16.$$

Stąd $|AC|=15$ i $|BC|=20$. Ponadto

$$|CD|^2=|AD|\cdot|DB|=16\cdot9,$$

więc $|CD|=12$.

c) Dla trójkąta $ABC$:

$$r=\frac{15+20-25}{2}=5.$$

Pole koła wpisanego wynosi

$$P_k=\pi r^2=25\pi.$$

d) Trójkąt $ACD$ ma boki $9,12,15$, więc

$$r_{ACD}=\frac{9+12-15}{2}=3, \qquad P_{k,ACD}=9\pi.$$

Trójkąt $CBD$ ma boki $12,16,20$, zatem

$$r_{CBD}=\frac{12+16-20}{2}=4, \qquad P_{k,CBD}=16\pi.$$

Wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na połowy. Jeżeli podstawa ma długość $x$, a ramię $y$, to

$$h=\sqrt{y^2-\left(\frac{x}{2}\right)^2},$$ $$P=\frac12xh, \qquad p=y+\frac{x}{2}, \qquad r=\frac{P}{p}.$$

a) Dla $x=12$, $y=10$ mamy

$$h=\sqrt{10^2-6^2}=8,$$ $$P=48, \qquad p=16, \qquad r=\frac{48}{16}=3.$$

b) Dla $x=10$, $y=13$:

$$h=\sqrt{13^2-5^2}=12,$$ $$P=60, \qquad p=18, \qquad r=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}.$$

W obu podpunktach kąt między ramionami ma miarę $120^\circ$: w b) wynika to z tego, że oba kąty przy podstawie mają po $30^\circ$. Wysokość opuszczona z wierzchołka dzieli ten kąt na dwa kąty po $60^\circ$.

Oznaczmy wysokość trójkąta przez $h$. Środek okręgu wpisanego leży na tej wysokości, w odległości $r$ od podstawy. Odległość środka okręgu od ramienia również jest równa $r$, więc

$$r=(h-r)\sin60^\circ.$$

Stąd

$$h=r\frac{2+\sqrt3}{\sqrt3}.$$

Połówka trójkąta jest trójkątem $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$, zatem ramię ma długość $2h$, a podstawa $2\sqrt3h$.

a) Dla $r=3$:

$$h=3+2\sqrt3.$$

Ramię ma długość

$$2h=6+4\sqrt3,$$

a podstawa

$$2\sqrt3h=12+6\sqrt3.$$

b) Dla $r=2$:

$$h=2+\frac{4\sqrt3}{3}, \qquad a=2\sqrt3h=8+4\sqrt3.$$

Pole wynosi

$$P=\frac12a h=\sqrt3h^2 =16+\frac{28\sqrt3}{3}.$$