NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 249

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a,b$ i przeciwprostokątnej $c$ promień okręgu wpisanego jest równy

$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$

a) Dla przyprostokątnych $3$ i $4$ przeciwprostokątna ma długość $5$. Zatem

$$r=\frac{3+4-5}{2}=1.$$

b) Dla przyprostokątnych $7$ i $24$ mamy

$$c=\sqrt{7^2+24^2}=25,$$

więc

$$r=\frac{7+24-25}{2}=3.$$

a) Oznaczmy drugą przyprostokątną przez $b$, a przeciwprostokątną przez $c$. Z zależności dla promienia okręgu wpisanego otrzymujemy

$$4=\frac{10+b-c}{2},$$

czyli $c=b+2$. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$$(b+2)^2=10^2+b^2,$$ $$4b+4=100,$$

stąd $b=24$ i $c=26$.

b) Niech przyprostokątne mają długości $a,b$. Ponieważ $r=2$ i $c=10$,

$$2=\frac{a+b-10}{2},$$

zatem $a+b=14$. Ponadto

$$a^2+b^2=10^2=100.$$

Po podniesieniu sumy do kwadratu:

$$14^2=a^2+b^2+2ab,$$

więc $ab=48$. Liczby $a,b$ są pierwiastkami równania

$$t^2-14t+48=0,$$

czyli mają długości $6$ i $8$.

Niech $O$ będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt o bokach $a,b,c$. Łączymy $O$ z trzema wierzchołkami. Trójkąt dzieli się na trzy trójkąty, których podstawami są kolejno boki $a,b,c$, a wspólną wysokością jest promień $r$, ponieważ promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do boku.

Suma pól tych trzech trójkątów wynosi

$$P=\frac12ar+\frac12br+\frac12cr =\frac{a+b+c}{2}\,r.$$

Otrzymaliśmy podany wzór.

Z długości okręgu wyznaczamy promień:

$$2\pi r=3\pi,$$

zatem $r=\frac32$.

Połowa obwodu trójkąta o bokach $5,5,6$ jest równa

$$p=\frac{5+5+6}{2}=8.$$

Korzystając ze wzoru $P=pr$, otrzymujemy

$$P=8\cdot\frac32=12.$$