NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 248

Niech $I$ będzie punktem przecięcia dwusiecznych kątów $A$ i $B$ trójkąta $ABC$. Punkt leżący na dwusiecznej kąta jest równoodległy od jego ramion. Z faktu, że $I$ leży na dwusiecznej kąta $A$, wynika

$$d(I,AB)=d(I,AC).$$

Ponieważ $I$ leży także na dwusiecznej kąta $B$, mamy

$$d(I,AB)=d(I,BC).$$

Stąd

$$d(I,AC)=d(I,BC).$$

Punkt $I$ leży wewnątrz trójkąta, a więc punkt równoodległy od ramion kąta $C$ należy do jego dwusiecznej wewnętrznej. Zatem dwusieczna kąta $C$ również przechodzi przez $I$.

Wszystkie trzy dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się więc w jednym punkcie.

a) Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku $a=18$ wynosi

$$r=\frac{a\sqrt3}{6} =\frac{18\sqrt3}{6} =3\sqrt3.$$

Długość okręgu jest więc równa

$$L=2\pi r=6\sqrt3\pi.$$

b) Z długości okręgu wyznaczamy jego promień:

$$2\pi r=10\pi,$$

stąd $r=5$. Korzystamy ponownie ze wzoru $r=\frac{a\sqrt3}{6}$:

$$5=\frac{a\sqrt3}{6},$$

więc

$$a=\frac{30}{\sqrt3}=10\sqrt3.$$

Obwód trójkąta wynosi

$$O=3a=30\sqrt3.$$

Trójkąt równoboczny ma bok długości

$$a=\frac{36}{3}=12\ \text{cm}.$$

Promień okręgu wpisanego wynosi

$$r=\frac{a\sqrt3}{6}=2\sqrt3\ \text{cm}.$$

W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego jest dwa razy większy:

$$R=2r=4\sqrt3\ \text{cm}.$$

Suma długości obu okręgów jest więc równa

$$2\pi r+2\pi R =2\pi(r+R) =2\pi(6\sqrt3) =12\sqrt3\pi\ \text{cm}.$$