NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 242

a) Poprowadźmy przez $P$ średnicę. Punkt $P$ dzieli ją na odcinki długości

$$11-5=6\ \text{cm} \quad\text{oraz}\quad 11+5=16\ \text{cm}.$$

Jeżeli szukane części cięciwy mają długości $x$ i $20-x$, to z twierdzenia o przecinających się cięciwach

$$x(20-x)=6\cdot16=96.$$

Stąd

$$x^2-20x+96=0 \iff (x-8)(x-12)=0.$$

Punkt $P$ dzieli więc cięciwę na odcinki $8$ cm i $12$ cm.

b) Średnica prostopadła do cięciwy dzieli ją na połowy. Oznaczmy długość połowy cięciwy przez $x$. Twierdzenie o przecinających się cięciwach daje

$$x^2=6\cdot24=144.$$

Ponieważ $x>0$, mamy $x=12$ cm, a cała cięciwa ma długość $2x=24$ cm.

Promień $OA$ jest prostopadły do stycznej w punkcie $A$. Jeżeli $\theta=|\angle OAB|$, to

$$\theta=90^\circ-\alpha.$$

Trójkąt $AOB$ jest równoramienny, bo $OA=OB$. Stąd

$$|\angle AOB|=180^\circ-2\theta =180^\circ-2(90^\circ-\alpha)=2\alpha.$$

Kąt $\beta$ jest wpisany i oparty na tym samym łuku $AB$ co kąt środkowy $\angle AOB$, zatem

$$\beta=\frac12|\angle AOB|=\frac12\cdot2\alpha=\alpha.$$

W ten sposób wykazaliśmy żądaną równość.

a) Kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku wyznaczonym przez końce tej cięciwy. Zatem bezpośrednio

$$\alpha=32^\circ.$$

b) Z tego samego twierdzenia kąt wpisany $\alpha$ jest równy danemu kątowi między styczną i odpowiednią cięciwą, czyli

$$\alpha=42^\circ.$$

c) Oznaczmy punkt górny przez $A$, lewy przez $B$, prawy przez $C$, a punkt styczności przez $D$. Odcinek $AD$ jest średnicą, więc $\angle ABD=90^\circ$. Dany kąt $\angle ABC=54^\circ$ jest częścią tego kąta prostego. Stąd

$$\angle CBD=90^\circ-54^\circ=36^\circ.$$

Kąt $\alpha$ między styczną w $D$ a cięciwą $DC$ jest równy kątowi wpisanemu $\angle CBD$ opartemu na łuku $CD$. Zatem $\alpha=36^\circ$.

Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą wynika, że kąt między styczną w $B$ a cięciwą $BC$ jest równy kątowi wpisanemu $\angle BAC$. Zatem

$$|\angle BAC|=50^\circ.$$

Trójkąt jest równoramienny o podstawie $AB$, czyli $AC=BC$, więc kąty przy podstawie są równe:

$$|\angle ABC|=|\angle BAC|=50^\circ.$$

Trzeci kąt ma miarę

$$|\angle ACB|=180^\circ-2\cdot50^\circ=80^\circ.$$