NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 243

a) Oznaczmy punkt przecięcia średnicy $AB$ i cięciwy przez $P$. Z twierdzenia o cięciwach

$$|AP|\cdot|PB|=4\cdot3,$$

czyli $2|PB|=12$ i $|PB|=6$. Zatem $AB=8$, więc promień wynosi $r=4$.

Niech $H$ będzie rzutem punktu $C$ na średnicę $AB$. Mamy $OC=PC=4$ oraz $OP=AO-AP=4-2=2$. Trójkąt $OPC$ jest równoramienny, zatem jego wysokość $CH$ dzieli podstawę $OP$ na połowy. Stąd

$$CH=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}.$$

Pole trójkąta $ABC$ jest więc równe

$$P_{ABC}=\frac12\cdot8\cdot\sqrt{15}=4\sqrt{15}.$$

b) Średnica prostopadła do cięciwy $CA$ dzieli ją na połowy. Skoro dolna część ma długość $3$, to $CA=6$. Jeżeli $P$ jest punktem przecięcia, a $D$ lewym końcem średnicy, to

$$|DP|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PA|=3\cdot3=9.$$

Ponieważ $DP=\frac32$, otrzymujemy $PB=6$. Średnica ma długość $\frac32+6=\frac{15}{2}$, zatem

$$r=\frac{15}{4}=3\frac34.$$

Jako podstawę trójkąta $ABC$ przyjmijmy $CA=6$. Jego wysokością jest odległość punktu $B$ od prostej $CA$, równa $PB=6$. Wobec tego

$$P_{ABC}=\frac12\cdot6\cdot6=18.$$

c) Niech $D$ będzie lewym górnym punktem okręgu, a $P$ punktem przecięcia cięciwy $DB$ ze średnicą $AC$. Trójkąty $DPC$ i $APB$ są podobne: mają równe kąty wierzchołkowe przy $P$, a kąty przy $C$ i $B$ są wpisane i oparte na tym samym łuku $DA$. Skala drugiego trójkąta do pierwszego wynosi

$$\frac{AB}{DC}=\frac{3\sqrt6}{2\sqrt6}=\frac32.$$

Zatem

$$AP=\frac32\cdot DP=\frac32\cdot4=6, \qquad PB=\frac32\cdot PC=\frac32\cdot2=3.$$

Stąd $AC=AP+PC=6+2=8$, więc $r=4$.

Ponieważ $AC$ jest średnicą, trójkąt $ABC$ jest prostokątny w $B$. Z twierdzenia Pitagorasa

$$BC=\sqrt{AC^2-AB^2} =\sqrt{64-54}=\sqrt{10}.$$

Jego pole wynosi

$$P_{ABC}=\frac12\cdot3\sqrt6\cdot\sqrt{10}=3\sqrt{15}.$$

a) Dwie czerwone cięciwy przechodzące przez $O$ są średnicami. Dany kąt wpisany $25^\circ$ opiera się na łuku wyznaczającym zaznaczony kąt $\alpha$, dlatego $\alpha=25^\circ$. Odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę

$$\beta=2\cdot25^\circ=50^\circ.$$

Kąt $\gamma$ opiera się na łuku wyznaczonym przez promienie przeciwne do ramion kąta $\beta$, więc ma również $25^\circ$. Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą

$$\delta=\gamma=25^\circ.$$

b) Oznaczmy prawy koniec poziomej średnicy przez $D$, a dolny punkt okręgu przez $C$. Kąt wpisany $\angle ABD$ jest oparty na średnicy, więc

$$\beta+30^\circ=90^\circ, \qquad \beta=60^\circ.$$

Kąty $\alpha=\angle DAC$ i $\angle DBC=30^\circ$ opierają się na łuku $DC$, zatem $\alpha=30^\circ$. Dany kąt $\angle ACB=50^\circ$ wyznacza łuk $AB$ o mierze $100^\circ$. Górny półokrąg $ADB$ ma $180^\circ$, więc łuk $BD$ ma miarę $80^\circ$. Zaznaczony kąt środkowy $\gamma=\angle BOD$ ma zatem $80^\circ$. Wreszcie twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą $AB$ daje $\delta=\angle ACB=50^\circ$.

c) Oznaczmy prawy koniec średnicy przez $D$, dolny punkt przez $C$, a punkt przecięcia $AD$ i $BC$ przez $E$. Z kąta wpisanego $\angle ACB=60^\circ$ wynika, że łuk $AB$ ma miarę $120^\circ$. Ponieważ $AD$ jest średnicą, górny łuk $ABD$ ma $180^\circ$, toteż łuk $BD$ ma $60^\circ$. Stąd

$$\alpha=\frac12\cdot60^\circ=30^\circ.$$

Dla przecinających się cięciw $AD$ i $BC$ mamy

$$110^\circ=|\angle DEC| =\frac12\left(m\overset{\frown}{DC}+m\overset{\frown}{AB}\right).$$

Zatem $m\overset{\frown}{DC}=220^\circ-120^\circ=100^\circ$, więc

$$\gamma=\frac12\cdot100^\circ=50^\circ.$$

Kąt $\angle ABD$ jest oparty na średnicy i ma $90^\circ$, a dzielą go kąty $\beta$ i $\gamma$. Wobec tego $\beta=40^\circ$. Ponownie z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą $\delta=\angle ACB=60^\circ$.

a) Trójkąt $AOB$ jest równoramienny, bo $OA=OB$. Kąt $96^\circ$ nie może być kątem przy podstawie: wówczas oba kąty przy podstawie miałyby po $96^\circ$. Jest więc kątem środkowym $\angle AOB$. Kąt między styczną i cięciwą $AB$ jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku, a ten ma połowę miary kąta środkowego. Zatem

$$\frac12\cdot96^\circ=48^\circ.$$

b) Obwód okręgu o promieniu $6$ cm wynosi $12\pi$ cm. Łuk długości $\pi$ stanowi więc $\frac1{12}$ całego okręgu, a odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę

$$\frac1{12}\cdot360^\circ=30^\circ.$$

Szukany kąt między styczną i cięciwą jest równy połowie tej miary, czyli $15^\circ$.

a) Dany kąt wpisany $55^\circ$ jest oparty na łuku $AB$, więc odpowiadający mu kąt środkowy ma $110^\circ$. Kąt między dwiema stycznymi poprowadzonymi w $A$ i $B$ ma miarę

$$|\angle C|=180^\circ-110^\circ=70^\circ.$$

Odcinki stycznych poprowadzone z punktu $C$ są równe, czyli $CA=CB$. Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, zatem

$$|\angle A|=|\angle B| =\frac{180^\circ-70^\circ}{2}=55^\circ.$$

b) Kąt między styczną w $A$ i cięciwą $AC$ ma $44^\circ$. Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą

$$|\angle B|=44^\circ.$$

Dany kąt wpisany $50^\circ$ i kąt $\angle A$ są oparte na tym samym łuku $BC$, więc $|\angle A|=50^\circ$. Pozostały kąt ma miarę

$$|\angle C|=180^\circ-50^\circ-44^\circ=86^\circ.$$

Z twierdzenia o przecinających się cięciwach

$$18x=(x+3)(x+6).$$

Po uporządkowaniu

$$x^2-9x+18=0 \iff (x-3)(x-6)=0.$$

Obie wartości są dodatnie, więc dopuszczalne są $x=3$ oraz $x=6$.

Dla $x=3$ długości cięciw wynoszą

$$x+18=21, \qquad (x+3)+(x+6)=6+9=15.$$

Dla $x=6$ otrzymujemy

$$x+18=24, \qquad (x+3)+(x+6)=9+12=21.$$