NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 241

Korzystamy z twierdzenia o iloczynach odcinków przecinających się cięciw.

a) Mamy

$$12\cdot3=4x,$$

zatem $x=9$.

b) Niech $P$ będzie punktem przecięcia cięciwy ze średnicą. Średnica prostopadła do cięciwy dzieli ją na połowy, więc oba jej odcinki mają długość $x$. Punkt $P$ dzieli średnicę na odcinki długości $3-1=2$ oraz $3+1=4$. Stąd

$$x^2=2\cdot4=8,$$

a ponieważ $x>0$, otrzymujemy $x=2\sqrt2$.

c) Średnica ma długość $2\cdot5\frac12=11$. Jej odcinki wyznaczone przez punkt przecięcia mają więc długości $x$ i $11-x$. Z twierdzenia o cięciwach

$$x(11-x)=4\cdot6=24,$$

czyli

$$x^2-11x+24=0 \iff (x-3)(x-8)=0.$$

Algebraicznie otrzymujemy $3$ albo $8$. Na rysunku $x$ oznacza odcinek od punktu przecięcia leżącego na prawo od środka do prawego końca średnicy; jest to odcinek krótszy, zatem $x=3$.

Z twierdzenia o przecinających się cięciwach otrzymujemy

$$|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|.$$

Po podstawieniu danych

$$|PA|\cdot1=2\cdot3,$$

więc $|PA|=6$ cm. Średnica ma zatem długość

$$|AB|=|PA|+|PB|=6+1=7\ \text{cm}.$$

Długość okręgu jest równa

$$L=\pi|AB|=7\pi\ \text{cm}.$$