NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 240

W każdym podpunkcie nazywamy punkty okręgu zgodnie z ich kolejnością na rysunku.

a) Oznaczmy punkt lewy przez $A$, górny przez $B$, prawy przez $C$, a dolny przez $D$. Odcinki $AC$ i $BD$ są średnicami. Kąt wpisany $\angle BDC=48^\circ$ i kąt $\gamma=\angle BAC$ są oparte na tym samym łuku $BC$, więc

$$\gamma=48^\circ.$$

Kąt środkowy $\angle BOC$ oparty na tym łuku ma miarę $96^\circ$. Ponieważ $OB$ i $OD$ są przeciwnymi półprostymi,

$$\alpha=180^\circ-96^\circ=84^\circ.$$

Ponadto $BD$ jest średnicą, zatem $\angle BCD=90^\circ$. W trójkącie $BCD$ mamy więc $\angle DBC=180^\circ-90^\circ-48^\circ=42^\circ$. Odcinek $AC$ także jest średnicą, toteż $\angle ABC=90^\circ$. Odcinek $BD$ dzieli ten kąt na $\beta$ i $42^\circ$, stąd $\beta=48^\circ$.

b) Oznaczmy wierzchołki kolejno przez $A$ (lewy górny), $B$ (prawy górny), $C$ (prawy) i $D$ (lewy dolny), a punkt przecięcia przekątnych przez $E$. Odcinek $DB$ jest średnicą. Kąty $\alpha=\angle DAC$ oraz $\angle DBC=65^\circ$ są oparte na łuku $DC$, więc

$$\alpha=65^\circ.$$

Kąt $\angle DCB$ jest oparty na średnicy, zatem ma $90^\circ$. Dany kąt $\angle ACD=60^\circ$ daje

$$\angle ACB=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Kąty $\angle ACB$ i $\gamma=\angle ADB$ opierają się na łuku $AB$, więc $\gamma=30^\circ$. W trójkącie $ADE$ kąt przy $E$ ma miarę

$$180^\circ-65^\circ-30^\circ=85^\circ.$$

Jest on wierzchołkowy z zaznaczonym kątem $\beta$, toteż $\beta=85^\circ$.

c) Oznaczmy punkt górny przez $A$, lewy przez $B$, prawy przez $C$, dolny przez $D$, a punkt przecięcia $AD$ z $BC$ przez $E$. W trójkącie $ABE$ mamy

$$\gamma=180^\circ-24^\circ-86^\circ=70^\circ.$$

Kąty $\gamma=\angle ABC$ i $\alpha=\angle ADC$ są wpisane i oparte na tym samym łuku $AC$, więc $\alpha=70^\circ$. Ponieważ $AD$ jest średnicą, $\angle ACD=90^\circ$. Kąt $\angle BAD=24^\circ$ i kąt $\angle BCD$ są oparte na łuku $BD$, zatem $\angle BCD=24^\circ$. Wobec tego

$$\beta=\angle ACB=90^\circ-24^\circ=66^\circ.$$

a) Oznaczmy końce cięciwy długości $r$ przez $A,B$. Ponieważ $OA=OB=AB=r$, trójkąt $AOB$ jest równoboczny. Stąd

$$\alpha=60^\circ, \qquad \angle AOB=60^\circ.$$

Kąt $\beta$ jest zaznaczonym na rysunku kątem wklęsłym, więc

$$\beta=360^\circ-60^\circ=300^\circ.$$

Kąt $\gamma$ jest wpisany i oparty na mniejszym łuku $AB$, zatem $\gamma=\frac12\cdot60^\circ=30^\circ$.

b) Oznaczmy punkty: $A$ — lewy górny, $B$ — prawy górny, $C$ — dolny, $D$ — lewy dolny. Odcinek $DB$ jest średnicą, a cięciwa $DC$ ma długość $r$. Ponieważ $OD=OC=DC=r$, trójkąt $DOC$ jest równoboczny i $\angle DOC=60^\circ$. Zatem

$$\alpha=\frac12\angle DOC=30^\circ.$$

Ponieważ $OB$ jest półprostą przeciwną do $OD$, $\beta=\angle BOC=120^\circ$. Kąt $\angle DCB$ jest oparty na średnicy $DB$, zatem ma $90^\circ$. Jednocześnie $\angle DCO=60^\circ$, więc

$$\gamma=\angle OCB=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

c) Oznaczmy lewy górny punkt przez $A$, lewy dolny przez $B$, górny przez $C$, a prawy dolny przez $D$. Odcinek $AD$ jest średnicą, natomiast $AB=AC=r$. Trójkąt $AOB$ jest równoboczny, zatem $\alpha=60^\circ$ i $\angle AOB=60^\circ$. Półproste $OA,OD$ są przeciwne, więc

$$\beta=\angle BOD=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Ponadto $OA=OC=AC=r$, więc trójkąt $AOC$ jest równoboczny i $\angle ACO=60^\circ$. Ponieważ $AD$ jest średnicą, $\angle ACD=90^\circ$. Dlatego

$$\gamma=\angle OCD=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Przypadek II. Punkty $A,O,P$ leżą na jednej prostej. Ponieważ $OP=OB$ są promieniami, trójkąt $OPB$ jest równoramienny, a oba jego kąty przy podstawie mają miarę $\beta$. Zatem

$$|\angle POB|=180^\circ-2\beta.$$

Kąty $\alpha$ i $\angle POB$ tworzą parę przyległą, ponieważ półproste $OA$ i $OP$ są przeciwne. Wobec tego

$$\alpha=180^\circ-(180^\circ-2\beta)=2\beta.$$

Przypadek III. Przedłużmy promień $PO$ do jego drugiego punktu przecięcia z okręgiem. Z oznaczeń na rysunku większy kąt środkowy ma miarę $\alpha+\alpha_1$, a oparty na tym samym łuku kąt wpisany ma miarę $\beta+\beta_1$. Jest to układ z przypadku II, więc

$$\alpha+\alpha_1=2(\beta+\beta_1).$$

Dla łuku pomocniczego także zachodzi przypadek II, czyli $\alpha_1=2\beta_1$. Odejmując tę równość od poprzedniej, otrzymujemy

$$\alpha=2\beta.$$

Twierdzenie jest więc prawdziwe również wtedy, gdy środek leży poza kątem wpisanym.