NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 239

Kąt środkowy odpowiadający jednemu z $16$ równych łuków ma miarę

$$\frac{360^\circ}{16}=22{,}5^\circ.$$

Kąt można odłożyć od ramienia $SA$ w obu kierunkach. Dzielimy więc daną miarę przez $22{,}5^\circ$ i odliczamy otrzymaną liczbę łuków zgodnie oraz przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

a) $45^\circ=2\cdot22{,}5^\circ$, więc dochodzimy do punktu $C$ albo $O$.

b) $112{,}5^\circ=5\cdot22{,}5^\circ$, więc dochodzimy do punktu $F$ albo $L$.

c) $225^\circ=10\cdot22{,}5^\circ$, więc dochodzimy do punktu $G$ albo $K$.

d) $315^\circ=14\cdot22{,}5^\circ$, więc dochodzimy do punktu $C$ albo $O$.

Jeżeli łuk ma długość $s$, a promień okręgu jest równy $r=6$, to miara opartego na nim kąta środkowego w radianach wynosi

$$\alpha=\frac{s}{r}.$$

Kąt wpisany ma miarę $\beta=\frac12\alpha$.

a)

$$\alpha=\frac{2\pi}{6}=\frac\pi3=60^\circ, \qquad \beta=30^\circ.$$

b)

$$\alpha=\frac{3\pi}{6}=\frac\pi2=90^\circ, \qquad \beta=45^\circ.$$

c)

$$\alpha=\frac{\frac{15}{2}\pi}{6}=\frac{5\pi}{4}=225^\circ, \qquad \beta=112^\circ30'.$$

d)

$$\alpha=\frac{\frac\pi4}{6}=\frac\pi{24}=7^\circ30', \qquad \beta=3^\circ45'.$$

Ponieważ średnica $BD$ jest prostopadła do cięciwy $AC$, jest symetralną tej cięciwy. Stąd

$$BA=BC \qquad\text{oraz}\qquad DA=DC.$$

Trójkąty $ABC$ i $ADC$ są więc równoramienne. Ponadto czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, zatem jego przeciwległe kąty przy $B$ i $D$ mają sumę $180^\circ$.

a) Z $BA=BC$ i $|\angle ACB|=70^\circ$ wynika

$$|\angle BAC|=70^\circ, \qquad |\angle ABC|=40^\circ.$$

Zatem

$$|\angle ADC|=180^\circ-40^\circ=140^\circ.$$

Ponieważ $DA=DC$, pozostałe kąty trójkąta $ADC$ są równe:

$$|\angle DAC|=|\angle ACD| =\frac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ.$$

b) Kąt przeciwległy do $\angle ABC$ ma miarę

$$|\angle ADC|=180^\circ-130^\circ=50^\circ.$$

Z równoramienności trójkąta $ADC$ otrzymujemy

$$|\angle DAC|=|\angle ACD| =\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ.$$

a) Oznaczmy kolejno punkty na okręgu przez $A$ (lewy górny), $B$ (prawy), $C$ (prawy dolny) i $D$ (lewy). Odcinki $AC$ i $BD$ są średnicami. Kąty $\alpha=\angle BAC$ i $\angle BDC=23^\circ$ są oparte na tym samym łuku $BC$, więc

$$\alpha=23^\circ.$$

Odpowiadający temu łukowi kąt środkowy ma miarę $|\angle BOC|=46^\circ$. Promienie $OA$ i $OC$ są przeciwległe, zatem

$$\beta=|\angle AOB|=180^\circ-46^\circ=134^\circ.$$

b) Oznaczmy lewy punkt okręgu przez $A$, prawy przez $B$, a prawy dolny przez $C$. W trójkącie $AOC$ mamy $OA=OC$ oraz $|\angle ACO|=39^\circ$, więc

$$\beta=|\angle AOC|=180^\circ-2\cdot39^\circ=102^\circ.$$

Kąt $\alpha=\angle ABC$ jest wpisany i oparty na tym samym łuku $AC$ co kąt środkowy $\beta$, zatem

$$\alpha=\frac12\beta=51^\circ.$$

c) Oznaczmy dwa górne punkty przez $A,B$, a dolny przez $C$. Trójkąt $AOB$ jest równoramienny, ponieważ $OA=OB$. Z danego kąta $|\angle BAO|=58^\circ$ otrzymujemy

$$\beta=|\angle AOB|=180^\circ-2\cdot58^\circ=64^\circ.$$

Kąt $\alpha=\angle ACB$ jest wpisany i oparty na tym samym łuku $AB$, więc

$$\alpha=\frac12\beta=32^\circ.$$

Ponieważ kąty są oparte na tym samym łuku, zachodzi $\alpha=2\beta$.

a)

$$2\beta+\beta=111^\circ,$$

zatem $\beta=37^\circ$ i $\alpha=74^\circ$.

b)

$$2\beta=\beta+56^\circ30',$$

więc $\beta=56^\circ30'$ oraz

$$\alpha=2\beta=113^\circ.$$

c)

$$\frac12\cdot2\beta+\frac13\beta=48^\circ,$$ $$\frac43\beta=48^\circ,$$

stąd $\beta=36^\circ$ i $\alpha=72^\circ$.

a) Oznaczmy końce średnicy przechodzącej przez $O$ przez $L$ i $B$, a dolne punkty przez $A,C$. W trójkącie $AOB$ mamy $OA=OB$ oraz $|\angle OAB|=15^\circ$, więc

$$|\angle AOB|=180^\circ-2\cdot15^\circ=150^\circ.$$

Ponieważ $OL$ i $OB$ są półprostymi przeciwnymi,

$$\alpha=180^\circ-150^\circ=30^\circ.$$

Kąt $\beta=\angle ABC$ jest wpisany i oparty na tym samym łuku co dany kąt środkowy $|\angle AOC|=70^\circ$, zatem

$$\beta=35^\circ.$$

b) Oznaczmy punkty na okręgu kolejno przez $A$ (lewy dolny), $T$ (górny), $R$ (prawy górny) i $B$ (prawy dolny). Odcinek $AR$ jest średnicą, a cięciwy $AR$ i $TB$ przecinają się w punkcie $X$.

Z $|\angle TBR|=30^\circ$ wynika, że łuk $TR$ ma miarę $60^\circ$. Na górnym półokręgu łuk $AT$ ma więc miarę $120^\circ$, dlatego

$$\alpha=\frac12\cdot120^\circ=60^\circ.$$

Dla przecinających się cięciw mamy

$$100^\circ=|\angle RXT| =\frac12\left(m\overset{\frown}{RT} +m\overset{\frown}{AB}\right).$$

Stąd $m\overset{\frown}{AB}=140^\circ$. Zatem

$$\beta=\frac12\cdot140^\circ=70^\circ.$$

c) Oznaczmy górny koniec pionowej średnicy przez $T$, punkt styczności przez $B$, a końce górnej cięciwy przez $L,R$. Dany kąt wpisany $|\angle TRL|=25^\circ$ jest oparty na łuku $TL$, więc odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę $50^\circ$. Półproste tworzące kąt $\alpha$ są przeciwne do półprostych tworzących ten kąt środkowy, zatem

$$\alpha=50^\circ.$$

Promień $OB$ jest prostopadły do stycznej w punkcie $B$. W trójkącie utworzonym przez $O$, $B$ i punkt przecięcia stycznej z przedłużeniem średnicy przechodzącej przez $L$ mamy więc

$$\beta=180^\circ-90^\circ-\alpha=40^\circ.$$