NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 24

a) Dodajemy wzory na pierwiastki:

$$x_1+x_2 =\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}+\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a} =\frac{-2b}{2a}=-\frac ba.$$

Składniki z $\sqrt\Delta$ redukują się, co dowodzi wzoru na sumę.

b) Dla $\Delta=0$ pierwiastek podwójny ma postać $x_0=-\frac{b}{2a}$. Dlatego

$$2x_0=2\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac ba.$$

Ponadto z $\Delta=b^2-4ac=0$ wynika $b^2=4ac$, a więc

$$x_0^2=\frac{b^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac ca.$$

Najpierw sprawdzamy istnienie pierwiastków. Gdy $\Delta\geqslant0$, stosujemy $x_1+x_2=-\frac ba$ i $x_1x_2=\frac ca$.

a) $\Delta=109>0$, zatem $x_1+x_2=9,\qquad x_1x_2=-7.$

b) $\Delta=65>0$, zatem $x_1+x_2=\frac32,\qquad x_1x_2=-\frac72.$

c) $\Delta=177>0$, zatem $x_1+x_2=\frac52,\qquad x_1x_2=\frac13.$

d)

$$\Delta=4^2-4\cdot(-3)\cdot(-2)=-8<0,$$

więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

e) $\Delta=\frac{200}{3}>0$, zatem $x_1+x_2=-12,\qquad x_1x_2=-\frac32.$

f) $\Delta=\frac{19}{2}>0$, zatem $x_1+x_2=-6,\qquad x_1x_2=-\frac12.$