NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 23

Punkty przecięcia wyznaczamy algebraicznie, porównując równania wykresów.

a)

$$\frac14x^2=\frac12x \iff x(x-2)=0.$$

Dla $x=0$ mamy $y=0$, a dla $x=2$ mamy $y=1$.

b)

$$\frac14x^2=-\frac12x+2 \iff x^2+2x-8=0 \iff (x+4)(x-2)=0.$$

Dla $x=-4$ mamy $y=4$, a dla $x=2$ mamy $y=1$.

a) Z równania $-x+2=x^2-2x$ otrzymujemy $(x-2)(x+1)=0$. Punkty wspólne to $(2,0)$ i $(-1,3)$; oba są całkowite.

b) Równanie przecięcia jest równoważne

$$x^2-12x+12=0,$$

więc $x=6\pm2\sqrt6$. Żadna z tych wartości nie jest całkowita.

c) Równanie $2x-4=-2x^2$ daje $(x+2)(x-1)=0$. Otrzymujemy punkty $(-2,-8)$ i $(1,-2)$; oba są całkowite.

d) Z równania $\frac12x+1=\frac12x^2$ mamy $(x-2)(x+1)=0$. Punkty wspólne to $(2,2)$ i $(-1,\frac12)$, zatem tylko pierwszy ma obie współrzędne całkowite.

W każdym układzie porównujemy równanie prostej z równaniem paraboli.

a) $y=4-x$, więc

$$x^2-4x+4=4-x \iff x(x-3)=0.$$

Otrzymujemy $(0,4)$ i $(3,1)$ — prosta jest sieczną paraboli.

b) $y=-2x-2$, zatem

$$x^2+2x-2=-2x-2 \iff x(x+4)=0.$$

Punkty $(-4,6)$ i $(0,-2)$ pokazują, że prosta jest sieczną.

c) Z równań mamy $y=\frac12x^2-2x$ oraz $y=2-2x$. Ich porównanie daje $x^2=4$, więc punkty wspólne to $(-2,6)$ i $(2,-2)$; prosta jest sieczną.

d) Mamy $y=4-\frac14x^2$ i $y=\frac12x+2$. Stąd

$$x^2+2x-8=0 \iff (x+4)(x-2)=0.$$

Punkty wspólne to $(-4,0)$ i $(2,3)$; prosta jest sieczną.

e) Drugie równanie daje $y=-8x-5$. Po porównaniu:

$$2x^2-4x-3=-8x-5 \iff 2(x+1)^2=0.$$

Jedynym punktem wspólnym jest $(-1,3)$, więc prosta jest styczna do paraboli.

f) Drugie równanie daje $y=4x-1$. Zatem

$$2x^2+8x+5=4x-1 \iff x^2+2x+3=0.$$

Wyróżnik wynosi $-8$, więc układ jest sprzeczny, a wykresy są rozłączne.

Po znalezieniu punktów liczymy $\overrightarrow{P_1P_2}=[x_2-x_1,y_2-y_1]$.

a) $x+1=x^2+1$ daje $x=0$ lub $x=1$. Zatem $P_1=(0,1)$, $P_2=(1,2)$ i

$$\overrightarrow{P_1P_2}=[1,1].$$

b) Z równania $x+1=-2x^2+3$ otrzymujemy

$$x_1=\frac{-1-\sqrt{17}}4,\qquad x_2=\frac{-1+\sqrt{17}}4.$$

Ponieważ $y=x+1$, przyrost obu współrzędnych jest równy $x_2-x_1=\frac{\sqrt{17}}2$. Stąd

$$\overrightarrow{P_1P_2} =\left[\frac{\sqrt{17}}2,\frac{\sqrt{17}}2\right].$$

c) Równanie $-2x+3=x^2$ daje $x=-3$ lub $x=1$. Mamy $P_1=(-3,9)$ i $P_2=(1,1)$, więc

$$\overrightarrow{P_1P_2}=[4,-8].$$

d) Równanie $-x-2=\frac13x^2-2$ ma rozwiązania $x=-3$ i $x=0$. Zatem $P_1=(-3,1)$, $P_2=(0,-2)$ i

$$\overrightarrow{P_1P_2}=[3,-3].$$

Najpierw wyznaczamy przecięcia prostych z parabolami. Granicę rysujemy linią ciągłą dla nierówności nieostrej i przerywaną dla ostrej.

a) Punkty przecięcia spełniają

$$x^2-2=2x+1 \iff (x+1)(x-3)=0,$$

czyli są to $(-1,-1)$ i $(3,7)$. Szukany obszar istnieje dla $-1<x<3$ i leży nad parabolą, a pod prostą:

$$\{(x,y):-1<x<3,\ x^2-2<y<2x+1\}.$$

Obie granice są przerywane.

b) Równanie przecięcia

$$x-1=-x^2+1 \iff (x+2)(x-1)=0$$

daje punkty $(-2,-3)$ i $(1,0)$. Zaznaczamy

$$\{(x,y):-2<x<1,\ x-1<y\leqslant -x^2+1\}.$$

Prosta jest granicą przerywaną, a parabola — ciągłą.

c) Po porównaniu granic i pomnożeniu równania przez $6$ mamy

$$3x^2+4x-20=0,$$

więc $x=-\frac{10}{3}$ lub $x=2$. Punkty przecięcia to $(-\frac{10}{3},\frac{32}{9})$ i $(2,0)$. Obszar ma opis

$$\left\{(x,y):-\frac{10}{3}<x<2,\ \frac12x^2-2\leqslant y<-\frac23x+\frac43\right\}.$$

Parabolę rysujemy linią ciągłą, a prostą przerywaną.