NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 238

Ponieważ oba kąty są oparte na tym samym łuku, zachodzi zależność $\alpha=2\beta$.

a) Dla $\alpha=110^\circ$ mamy $\beta=55^\circ$, zatem

$$\alpha+\beta=110^\circ+55^\circ=165^\circ.$$

b) Dla $\alpha=45^\circ$ mamy $\beta=22^\circ30'$, więc

$$\alpha+\beta=67^\circ30'.$$

c) Dla $\beta=17^\circ$ otrzymujemy $\alpha=34^\circ$, zatem

$$\alpha+\beta=51^\circ.$$

d) Dla $\beta=105^\circ$ otrzymujemy $\alpha=210^\circ$, więc

$$\alpha+\beta=315^\circ.$$

1. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

Niech $\varphi$ będzie miarą kąta środkowego opartego na rozważanym łuku. Każdy kąt wpisany oparty na tym łuku ma miarę $\frac12\varphi$, zatem wszystkie takie kąty mają równe miary.

2. Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.

Średnica wyznacza półokrąg, któremu odpowiada kąt środkowy $180^\circ$. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma więc miarę

$$\frac12\cdot180^\circ=90^\circ.$$

3. Suma przeciwległych kątów czworokąta wpisanego jest równa $180^\circ$.

Przeciwległe kąty czworokąta wpisanego są oparte na dwóch łukach, które razem tworzą cały okrąg. Odpowiadające im kąty środkowe mają więc łącznie $360^\circ$. Suma miar rozważanych kątów wpisanych jest równa połowie tej wartości:

$$\alpha+\beta=\frac12\cdot360^\circ=180^\circ.$$

a) Końce cięciwy długości $r$ wraz ze środkiem $O$ tworzą trójkąt, którego wszystkie boki są równe $r$. Jest to trójkąt równoboczny, więc

$$\alpha=60^\circ, \qquad \beta=60^\circ.$$

Kąt $\gamma$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy $\beta$, zatem

$$\gamma=\frac12\beta=30^\circ.$$

b) Lewy bok trójkąta ma długość $r$, podobnie jak dwa promienie łączące jego końce ze środkiem. Powstaje trójkąt równoboczny, więc $\alpha=60^\circ$. Kąt środkowy w drugiej części półokręgu ma miarę

$$180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Trójkąt utworzony przez dwa promienie i prawy bok jest równoramienny, dlatego

$$\beta=\gamma=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

c) Dwa górne boki mają długość $r$. Wraz z odpowiednimi promieniami tworzą dwa trójkąty równoboczne, a zatem dwa górne kąty środkowe mają po $60^\circ$. Kąt środkowy zaznaczony jako $\beta$ jest kątem wklęsłym, więc

$$\beta=360^\circ-2\cdot60^\circ=240^\circ.$$

Kąt $\alpha$ jest wpisany i oparty na tym samym większym łuku:

$$\alpha=\frac12\beta=120^\circ.$$

Kąt $\gamma$ jest oparty na pozostałym łuku o mierze $120^\circ$, więc

$$\gamma=60^\circ.$$

a) Dwie cięciwy przechodzące przez $O$ są średnicami. Kąt $\gamma$ jest wpisany i oparty na łuku odpowiadającym kątowi środkowemu $40^\circ$, zatem

$$\gamma=20^\circ.$$

Łuk, na którym oparte są kąty $\alpha$ i $\beta$, odpowiada kątowi środkowemu

$$180^\circ-40^\circ=140^\circ.$$

Stąd

$$\alpha=\beta=70^\circ.$$

b) Oznaczmy kolejne wierzchołki czworokąta, zaczynając od lewego górnego, przez $A,B,C,D$, a punkt przecięcia przekątnych przez $X$. Przekątna $AC$ jest średnicą. Z kąta wpisanego $40^\circ$ wynika, że łuk $AB$ ma miarę $80^\circ$, a więc łuk $BC$ ma miarę $100^\circ$.

Dla przecinających się cięciw

$$|\angle BXC|=\frac12\left( m\overset{\frown}{BC}+m\overset{\frown}{AD}\right).$$

Ponieważ $|\angle BXC|=80^\circ$, otrzymujemy

$$160^\circ=100^\circ+m\overset{\frown}{AD},$$

czyli $m\overset{\frown}{AD}=60^\circ$. Zatem

$$\alpha=\frac12\cdot60^\circ=30^\circ, \qquad \beta=\frac12\cdot80^\circ=40^\circ, \qquad \gamma=\frac12\cdot60^\circ=30^\circ.$$

c) Oznaczmy punkty na okręgu kolejno przez $L,T,R,B$, gdzie $LR$ jest poziomą średnicą. Kąt $\angle LTR$ jest prosty. Ponadto kąty $\angle TLR$ i $\angle TBR$ są oparte na tym samym łuku $TR$, więc $|\angle TLR|=65^\circ$. W trójkącie $LTR$ mamy zatem

$$\alpha=180^\circ-90^\circ-65^\circ=25^\circ.$$

Kąt $\beta$ i dany kąt $35^\circ$ są oparte na łuku $LB$, więc $\beta=35^\circ$. Kąty $\alpha$ i $\gamma$ są oparte na łuku $LT$, stąd $\gamma=25^\circ$.