NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 237

Każdy z $12$ równych łuków odpowiada kątowi środkowemu o mierze

$$\frac{360^\circ}{12}=30^\circ.$$

a) Łuk $\overset{\frown}{P_1P_2P_3}$ składa się z dwóch małych łuków, więc odpowiada mu kąt

$$2\cdot30^\circ=60^\circ.$$

b) Łuk od $P_4$ do $P_{12}$ przechodzący przez $P_7$ składa się z ośmiu małych łuków. Zatem kąt ma miarę

$$8\cdot30^\circ=240^\circ.$$

c) Łuk od $P_6$ do $P_7$ przechodzący przez $P_1$ jest łukiem większym i składa się z jedenastu małych łuków. Stąd

$$11\cdot30^\circ=330^\circ.$$

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy ma miarę równą połowie miary kąta środkowego.

a)

$$\beta=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$

b) Rysujemy promienie $OA$ i $OB$ tworzące kąt $\angle AOB=120^\circ$. Na łuku większym $AB$ wybieramy trzy różne punkty $P_1,P_2,P_3$ i łączymy każdy z nich z $A$ i $B$. Wszystkie trzy kąty $\angle AP_iB$ są oparte na tym samym łuku co $\angle AOB$, więc

$$|\angle AP_iB|=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ \qquad (i=1,2,3).$$

Jeżeli $\alpha$ jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany $\beta$, to $\alpha=2\beta$.

a)

$$\alpha=2\cdot15^\circ=30^\circ.$$

b)

$$\alpha=2\cdot48^\circ=96^\circ.$$

c)

$$\alpha=2\cdot137^\circ=274^\circ.$$

d)

$$\alpha=2\cdot74^\circ30'=148^\circ+60'=149^\circ.$$