NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 236

Niech $O$ będzie środkiem okręgu, a $P$ — danym punktem na okręgu.

1. Rysujemy prostą $OP$.
2. Na tej prostej zaznaczamy po obu stronach punktu $P$ punkty $A$ i $B$ tak, aby $PA=PB$.
3. Z punktów $A$ i $B$ zataczamy łuki o jednakowym promieniu większym niż $PA$. Niech ich punkty przecięcia będą oznaczone przez $C$ i $D$.
4. Rysujemy prostą $CD$.

Prosta $CD$ przechodzi przez $P$ i jest prostopadła do $OP$. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc $CD$ jest szukaną styczną do okręgu w punkcie $P$.

W konstrukcji opisanej na stronie okrąg pomocniczy $L_3$ przecinają dwie styczne poprowadzone z punktu $O_2$. Wykonanie podanych kroków dla drugiej z nich daje drugą wspólną styczną przecinającą odcinek $O_1O_2$.

Pozostają dwie styczne, przy których oba okręgi leżą po tej samej stronie prostej. Załóżmy najpierw, że $r_2>r_1$.

1. Rysujemy okrąg pomocniczy o środku $O_2$ i promieniu $r_2-r_1$.
2. Z punktu $O_1$ konstruujemy obie styczne do tego okręgu. Niech $A$ będzie punktem styczności jednej z nich.
3. Na półprostej wychodzącej z $O_1$ i równoległej oraz zgodnie skierowanej do $O_2A$ zaznaczamy punkt $B$ taki, że $O_1B=r_1$.
4. Przez $B$ prowadzimy prostą równoległą do $O_1A$.

Ponieważ $O_2A\perp O_1A$, skonstruowana prosta jest oddalona od $O_1$ o $r_1$, a od $O_2$ o $(r_2-r_1)+r_1=r_2$. Jest więc styczna do obu okręgów. Powtórzenie konstrukcji dla drugiej stycznej z punktu $O_1$ daje drugą styczną tego rodzaju.

Jeżeli $r_1>r_2$, zamieniamy role okręgów. Gdy $r_1=r_2$, dwie zewnętrzne styczne są prostymi równoległymi do $O_1O_2$, oddalonymi od niej o wspólny promień.