NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 233

Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu mają równe długości, więc $|PA|=|PB|$. Ponadto $OA\perp PA$ i $OB\perp PB$.

a) W trójkącie prostokątnym $PAO$:

$$|PA|=\sqrt{|PO|^2-|AO|^2} =\sqrt{10^2-6^2}=8\ \text{cm}.$$

Obwód czworokąta wynosi zatem

$$|PA|+|AO|+|OB|+|BP| =8+6+6+8=28\ \text{cm}.$$

b) Oznaczmy promień przez $r$, a długość każdej stycznej przez $t$. Z obwodu czworokąta otrzymujemy

$$2t+2r=34,$$

czyli $t=17-r$.

Ze źródłowego rysunku punkt $S$ leży na okręgu i na odcinku $PO$, zatem

$$|PO|=|PS|+|SO|=8+r.$$

W trójkącie prostokątnym $PAO$ zachodzi

$$(17-r)^2+r^2=(8+r)^2.$$

Po uporządkowaniu:

$$r^2-50r+225=0,$$ $$(r-5)(r-45)=0.$$

Ponieważ $t=17-r$ musi być dodatnie, wartość $r=45$ odrzucamy. Stąd $r=5\ \text{cm}$.