NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 232

Niech $H$ będzie spodkiem prostopadłej poprowadzonej z punktu $P$ do prostej $l$. Wybierzmy dowolny punkt $X\in l$, różny od $H$.

Ponieważ $PH\perp l$, trójkąt $PHX$ jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa

$$|PX|^2=|PH|^2+|HX|^2.$$

Dla $X\ne H$ mamy $|HX|>0$, więc

$$|PX|^2>|PH|^2,$$

a stąd $|PX|>|PH|$.

Jeżeli $X=H$, otrzymujemy właśnie odcinek $PH$. Zatem każdy inny odcinek łączący $P$ z prostą $l$ jest od niego dłuższy, co dowodzi tezy.

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

a) Trójkąt $OPA$ jest prostokątny w punkcie $P$. Zatem

$$|OA|^2=|OP|^2+|PA|^2=6^2+4^2=52,$$

czyli

$$|OA|=2\sqrt{13}\ \text{cm}.$$

b) Punkt $P$ jest środkiem odcinka $AB$, więc

$$|AP|=\frac{|AB|}{2}=16\ \text{cm}.$$

W trójkącie prostokątnym $AOP$ mamy

$$|OP|^2=|AO|^2-|AP|^2=20^2-16^2=144.$$

Promień okręgu jest zatem równy $|OP|=12\ \text{cm}$.