NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 234

Oznaczmy $d=|O_1O_2|$. Porównujemy $d$ z sumą promieni $r_1+r_2$ oraz z ich różnicą $|r_1-r_2|$.

a) Mamy

$$|r_1-r_2|=1, \qquad d=5\frac12, \qquad r_1+r_2=8.$$

Ponieważ $1<5\frac12<8$, okręgi przecinają się, więc mają dwie wspólne styczne.

b)

$$d=24=11+13=r_1+r_2.$$

Okręgi są styczne zewnętrznie, zatem mają trzy wspólne styczne.

c)

$$|r_1-r_2|=\left|\frac13-\frac12\right|=\frac16=d.$$

Okręgi są styczne wewnętrznie, więc mają jedną wspólną styczną.

d) Zachodzi

$$r_1+r_2=\sqrt2+\sqrt3<4=d.$$

Okręgi są rozłączne zewnętrznie, zatem mają cztery wspólne styczne.

Prosta ma z okręgiem dwa punkty wspólne, gdy promień jest większy od odległości środka od prostej; jeden punkt, gdy jest jej równy; oraz zero punktów, gdy jest mniejszy.

a) Odległość punktu $S(3,-1)$ od prostej $y=3$ wynosi

$$|{-1}-3|=4.$$

Zatem liczba punktów wspólnych wynosi $0$ dla $0<r<4$, $1$ dla $r=4$ i $2$ dla $r>4$.

b) Odległość punktu $S\left(-\frac32,4\right)$ od prostej $x=-1$ jest równa

$$\left|-\frac32-(-1)\right|=\frac12.$$

Stąd otrzymujemy $0$ punktów dla $0<r<\frac12$, $1$ dla $r=\frac12$ i $2$ dla $r>\frac12$.

c) Odległość punktu $S(-1,1)$ od prostej $x=\sqrt2$ wynosi

$$|-1-\sqrt2|=1+\sqrt2.$$

Zatem liczba punktów wspólnych to $0$ dla $0<r<1+\sqrt2$, $1$ dla $r=1+\sqrt2$ i $2$ dla $r>1+\sqrt2$.