NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 22

a) Z pierwszego równania $y=-4x-2$. Porównujemy prawe strony:

$$x^2-2x-1=-4x-2 \iff (x+1)^2=0.$$

Stąd $x=-1$ oraz $y=2$. Podwójny pierwiastek oznacza, że prosta $y=-4x-2$ jest styczna do paraboli w punkcie $(-1,2)$.

b) Pierwsze równanie daje $y=4x+5$. Zatem

$$2x^2+8x+7=4x+5 \iff 2(x+1)^2=0.$$

Otrzymujemy $x=-1$, $y=1$. Prosta $y=4x+5$ jest styczna do paraboli w punkcie $(-1,1)$.

c) Z pierwszego równania $y=-2x-2$. Porównanie z drugą funkcją daje

$$-\frac12x^2=-2x-2 \iff x^2-4x-4=0.$$

Ponieważ $\Delta=32$, mamy

$$x_1=2-2\sqrt2,\qquad x_2=2+2\sqrt2.$$

Po podstawieniu do $y=-2x-2$:

$$y_1=4\sqrt2-6,\qquad y_2=-4\sqrt2-6.$$

Prosta przecina parabolę w dwóch różnych punktach.

W każdym podpunkcie sprowadzimy układ do równania kwadratowego bez pierwiastków rzeczywistych.

a) Pierwsze równanie daje $y=3x+1$. Po podstawieniu:

$$3x+1=x^2+2x+3 \iff x^2-x+2=0.$$

Jego wyróżnik wynosi $\Delta=1-8=-7<0$.

b) Z pierwszego równania $y=7-2x$. Zatem

$$7-2x=-2x^2+4x+2 \iff 2x^2-6x+5=0.$$

Tutaj $\Delta=36-40=-4<0$.

c) Pierwsze równanie daje

$$y=-\frac14x^2-\frac12x+2,$$

a drugie po pomnożeniu przez $8$ — $y=\frac12x+4$. Porównujemy:

$$-\frac14x^2-\frac12x+2=\frac12x+4 \iff x^2+4x+8=0.$$

Wyróżnik wynosi $\Delta=16-32=-16<0$.

Każde otrzymane równanie ma ujemny wyróżnik, więc żaden układ nie ma rozwiązania rzeczywistego.