NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 228

Promień okręgu jest równy $r=5\ \text{cm}$, zatem jego długość wynosi

$$l=2\pi r=10\pi\ \text{cm}.$$

W trójkącie $AOB$ mamy

$$|OA|=|OB|=|AB|=5\ \text{cm},$$

więc jest to trójkąt równoboczny i $|\sphericalangle AOB|=60^\circ$. Długość krótszego łuku $\widehat{AB}$ jest równa

$$L=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot5 =\frac53\pi\ \text{cm}.$$

Dla średnicy $d$ długość łuku wyraża wzór

$$L=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi d.$$

a)

$$L=\frac{75^\circ}{360^\circ}\cdot12\pi =\frac52\pi\ \text{cm}.$$

b)

$$L=\frac{15^\circ}{360^\circ}\cdot30\pi =\frac54\pi\ \text{cm}.$$

c)

$$L=\frac{330^\circ}{360^\circ}\cdot5\pi =\frac{55}{12}\pi\ \text{cm}.$$

Korzystamy ze wzoru zapisanego za pomocą średnicy:

$$2\pi=\frac{20^\circ}{360^\circ}\pi d =\frac1{18}\pi d.$$

Po podzieleniu przez $\pi$ otrzymujemy

$$2=\frac{d}{18}\iff d=36\ \text{cm}.$$

Długość całego okręgu jest równa

$$l=\pi d=18\pi\ \text{cm}.$$

Jeśli miarę kąta oznaczymy przez $\alpha$, to

$$\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{4\pi}{18\pi}=\frac29.$$

Zatem

$$\alpha=\frac29\cdot360^\circ=80^\circ.$$

Odległość między środkami leżącymi na osi $Ox$ wynosi

$$|PQ|=|x-(-1)|=|x+1|.$$

a) Przy styczności zewnętrznej odległość między środkami jest sumą promieni:

$$|x+1|=5+3=8.$$

Stąd

$$x+1=8\quad\text{lub}\quad x+1=-8,$$

czyli $x=7$ lub $x=-9$.

b) Przy styczności wewnętrznej odległość między środkami jest różnicą promieni:

$$|x+1|=|5-3|=2.$$

Stąd $x=1$ lub $x=-3$.

Porównujemy odległość środków z sumą i różnicą promieni.

a)

$$|O_1O_2|=|-2-(-1)|=1,$$ $$|r_1-r_2|=2.$$

Ponieważ $1<2$, mniejszy okrąg leży wewnątrz większego i okręgi nie mają punktów wspólnych.

b)

$$|O_1O_2|=|-2-3|=5=4+1=r_1+r_2.$$

Okręgi są styczne zewnętrznie, więc mają jeden punkt wspólny.

c)

$$|O_1O_2|=|1-4|=3=|2-5|=|r_1-r_2|.$$

Okręgi są styczne wewnętrznie, więc mają jeden punkt wspólny.

Ze skanu strony 228 odczytujemy, że $O_1$ leży na mniejszym okręgu o środku $O_2$. Jeśli wspólny promień dwóch mniejszych okręgów oznaczymy przez $r$, to

$$|O_1O_2|=r.$$

Wewnętrzna styczność okręgów o środkach $O_1,O_2$ daje więc promień dużego okręgu

$$R=|O_1O_2|+r=2r.$$

Duży okrąg i mniejszy okrąg o środku $O_3$ są styczne zewnętrznie, zatem

$$|O_1O_3|=R+r=3r.$$

Ponieważ $|O_1O_3|=18$, mamy

$$3r=18\iff r=6,$$

a więc $R=12$. Średnice są dwa razy większe od promieni.

Długość przekątnej prostokąta, czyli odległość między środkami okręgów, wynosi

$$d=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5\ \text{cm}.$$

Przy styczności zewnętrznej punkt styczności leży na odcinku łączącym środki, a jego odległości od środków są promieniami. Promienie są więc w stosunku $1:3$. Oznaczmy je przez $t$ i $3t$. Wtedy

$$t+3t=4\sqrt5\iff t=\sqrt5.$$

Zatem promienie są równe $\sqrt5\ \text{cm}$ i $3\sqrt5\ \text{cm}$, a długości okręgów:

$$l_1=2\pi\sqrt5\ \text{cm},\qquad l_2=6\pi\sqrt5\ \text{cm}.$$

Ze skanu strony 228 odczytujemy kolejność środków $A$–$B$–$C$. Okrąg o środku $B$ jest największy i zawiera dwa pozostałe. Ponadto

$$|BC|=|AC|-|AB|=4-3=1.$$

Oznaczmy promienie okręgów przez $r_A,r_B,r_C$. Z rodzajów styczności otrzymujemy

$$r_B-r_A=3,$$ $$r_B-r_C=1,$$ $$r_A+r_C=4.$$

Z pierwszych dwóch równań mamy $r_A=r_B-3$ i $r_C=r_B-1$. Po podstawieniu do trzeciego:

$$(r_B-3)+(r_B-1)=4 \iff 2r_B=8 \iff r_B=4.$$

Stąd $r_A=1$ i $r_C=3$.

Oznaczmy promienie przez $r_1,r_2,r_3$ tak, aby odległości odpowiednich par środków były równe $5,6,7$. Styczność zewnętrzna daje układ

$$\begin{cases} r_1+r_2=5,\\ r_1+r_3=6,\\ r_2+r_3=7. \end{cases}$$

Dodając dwa pierwsze równania i odejmując trzecie, otrzymujemy

$$2r_1=5+6-7=4,$$

więc $r_1=2$. Analogicznie

$$r_2=\frac{5+7-6}{2}=3, \qquad r_3=\frac{6+7-5}{2}=4.$$