NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 229

a) Bok kwadratu ma długość

$$a=\sqrt{36}=6\ \text{cm}.$$

Największe koło zawarte w kwadracie jest do niego wpisane, więc jego średnica ma długość $6\ \text{cm}$, a promień $3\ \text{cm}$. Zatem

$$P=\pi\cdot3^2=9\pi\ \text{cm}^2.$$

b) Z równania na pole koła otrzymujemy

$$\pi r^2=2{,}25\pi \iff r^2=2{,}25 \iff r=1{,}5\ \text{cm}.$$

Długość okręgu wynosi

$$l=2\pi r=3\pi\ \text{cm}.$$

Pole pierścienia o promieniu zewnętrznym $R$ i wewnętrznym $r$ jest równe

$$P=\pi(R^2-r^2).$$

a)

$$P=\pi(25^2-24^2)=\pi(625-576)=49\pi\ \text{cm}^2.$$

Jeśli $\rho$ jest promieniem koła o tym samym polu, to

$$\pi\rho^2=49\pi\iff \rho=7\ \text{cm}.$$

b) Szerokość pierścienia daje $R-r=1$. Ponadto

$$17\pi=\pi(R^2-r^2)=\pi(R-r)(R+r),$$

więc $R+r=17$. Rozwiązujemy układ

$$\begin{cases} R-r=1,\\ R+r=17, \end{cases}$$

otrzymując $R=9\ \text{cm}$ i $r=8\ \text{cm}$.

Korzystamy ze wzoru

$$P=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2.$$

a)

$$P=\frac{75^\circ}{360^\circ}\pi\cdot12^2 =30\pi.$$

b) Ponieważ $22^\circ30'=22{,}5^\circ$, mamy

$$P=\frac{22{,}5^\circ}{360^\circ}\pi\cdot2^2 =\frac14\pi.$$

c)

$$P=\frac{315^\circ}{360^\circ}\pi(\sqrt3)^2 =\frac{21}{8}\pi.$$