NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 221

Druga przyprostokątna ma długość

$$\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{81}=9\ \text{cm}.$$

Cosinus kąta leżącego naprzeciw boku długości $40$ cm jest równy $\frac9{41}$, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Tangens kąta naprzeciw dłuższej przyprostokątnej wynosi

$$\frac{40}{9}=4\frac49,$$

zatem drugie zdanie również jest prawdziwe.

Mamy $AB=AP+PB=10$. Z twierdzeń o przyprostokątnych i wysokości w trójkącie prostokątnym:

$$BC^2=PB\cdot AB=8\cdot10=80, \qquad BC=4\sqrt5,$$ $$AC^2=AP\cdot AB=2\cdot10=20, \qquad AC=2\sqrt5,$$ $$CP^2=AP\cdot PB=2\cdot8=16, \qquad CP=4.$$

Stąd

$$Ob=AB+BC+AC=10+6\sqrt5.$$

Ponadto

$$\sin|\measuredangle ABC|=\frac{AC}{AB} =\frac{2\sqrt5}{10}=\frac{\sqrt5}{5},$$ $$\cos|\measuredangle ACP|=\frac{CP}{AC} =\frac4{2\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}.$$

Niech $E$ będzie rzutem punktu $D$ na podstawę $AB$. Z trójkąta prostokątnego $AED$:

$$DE=4\sin30^\circ=2, \qquad AE=4\cos30^\circ=2\sqrt3.$$

Ponieważ $BC$ jest prostopadłe do podstaw i $DC=4\sqrt3$, pozioma odległość punktu $C$ od $A$ wynosi

$$AE+DC=2\sqrt3+4\sqrt3=6\sqrt3.$$

Zatem

$$\operatorname{tg}|\measuredangle CAB| =\frac{2}{6\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{9}.$$

Kąty przy jednym ramieniu trapezu sumują się do $180^\circ$, więc

$$|\measuredangle ADC|=180^\circ-30^\circ=150^\circ.$$

Stąd

$$\sin|\measuredangle ADC|=\sin150^\circ=\frac12.$$

Pole trójkąta $ADC$ obliczamy z dwóch boków i kąta między nimi:

$$P_{ADC}=\frac12\cdot AD\cdot DC\cdot\sin150^\circ =\frac12\cdot4\cdot4\sqrt3\cdot\frac12 =4\sqrt3.$$

Z warunku wynika

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac12.$$

Możemy więc przyjąć, że w odpowiednim trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $1$ i $2$, a przeciwprostokątna $\sqrt5$. Zatem

$$\sin\alpha=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}, \qquad \cos\alpha=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},$$ $$\sin\alpha\cos\alpha=\frac25, \qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac12.$$

Pierwsze dwa stwierdzenia są fałszywe, a trzecie prawdziwe.