NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 220

Niech przyprostokątne mają długości $a$ i $b$. Wtedy $a^2+b^2=c^2$, a

$$(a-b)^2\geqslant0 \quad\Longrightarrow\quad a^2+b^2\geqslant2ab.$$

Zatem $ab\leqslant\frac{c^2}{2}$ i

$$P=\frac{ab}{2}\leqslant\frac{c^2}{4}.$$

Równość zachodzi dla $a=b=\frac{c}{\sqrt2}$, więc pole rzeczywiście może być równe $\frac14c^2$.

Oznaczmy krótszą podstawę i ramiona przez $a$; dłuższa podstawa ma wtedy długość $2a$. Rzut każdego ramienia na dłuższą podstawę jest równy

$$\frac{2a-a}{2}=\frac a2,$$

więc wysokość trapezu wynosi

$$h=\sqrt{a^2-\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Przekątna ma rzut poziomy $\frac{2a+a}{2}=\frac{3a}{2}$, zatem tworzy z podstawą kąt $30^\circ$, ponieważ

$$\operatorname{tg}30^\circ =\frac{a\sqrt3/2}{3a/2}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Obie przekątne są symetryczne względem osi trapezu, więc ich kąt ostry ma miarę $2\cdot30^\circ=60^\circ$.

Dla $\alpha=60^\circ$ sprawdzamy odpowiedź C:

$$\cos60^\circ+\cos30^\circ =\frac12+\frac{\sqrt3}{2} =\frac{1+\sqrt3}{2}.$$

Jednocześnie

$$\frac1{\sqrt3-1} =\frac{\sqrt3+1}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)} =\frac{1+\sqrt3}{2}.$$

Równość C jest zatem prawdziwa.

Cosinus jest funkcją malejącą na przedziale $[0^\circ;180^\circ]$. Ponieważ

$$\cos60^\circ=\frac12>\frac13>0=\cos90^\circ,$$

otrzymujemy

$$60^\circ<\alpha<90^\circ.$$

Korzystamy z wartości szczególnych:

$$\sin^230^\circ+\cos^245^\circ +\frac14\operatorname{tg}45^\circ =\frac14+\frac12+\frac14=1.$$

Zatem poprawne jest wyrażenie D.

Ponieważ

$$\sin151^\circ=\sin29^\circ=\cos61^\circ,$$

to

$$\sin151^\circ:\cos61^\circ=1.$$

Jest to wyrażenie D.

Podstawiamy wartości szczególne:

$$\left(\frac12-1\right) \frac{-\sqrt3}{-\frac{\sqrt3}{2}} =-\frac12\cdot2=-1.$$

Liczbą przeciwną do otrzymanej wartości jest $1$.

Pole rombu o boku $a$ i kącie $\alpha$ wynosi $a^2\sin\alpha$. Zatem

$$P=(4\sqrt2)^2\sin135^\circ =32\cdot\frac{\sqrt2}{2}=16\sqrt2\ \text{cm}^2.$$