NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 222

Kąt $\alpha$ jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni. Z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\left(\frac25\right)^2} =\frac{\sqrt{21}}5.$$

Nie jest to $0{,}6$, zatem pierwsze zdanie jest fałszywe.

Ponadto

$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha=\frac{\sqrt{21}}5,$$

więc drugie zdanie jest prawdziwe.

Niech $D$ będzie spodkiem wysokości z $C$ na $AB$. W trójkącie prostokątnym $ACD$:

$$CD=AC\sin\alpha=10\cdot0{,}4=4.$$

Trójkąt $BCD$ ma kąt prosty przy $D$ i kąt $45^\circ$ przy $C$, więc jest prostokątny równoramienny. Jego przeciwprostokątna ma długość

$$BC=CD\sqrt2=4\sqrt2.$$

Kąt $\alpha$ jest rozwarty, ale jego sinus jest dodatni. Zatem

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\frac1{16}}=\frac{\sqrt{15}}4.$$

Pole równoległoboku wynosi

$$P=4\cdot8\cdot\sin\alpha =32\cdot\frac{\sqrt{15}}4=8\sqrt{15}\ \text{cm}^2.$$

Najdłuższy bok ma długość $12$ cm. Ponieważ

$$12^2=144<10^2+10^2=200,$$

trójkąt jest ostrokątny, a nie rozwartokątny. Pierwsze zdanie jest fałszywe.

Wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na odcinki długości $6$ cm, więc ma długość

$$h=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \text{cm}.$$

Pole trójkąta wynosi

$$P=\frac12\cdot12\cdot8=48\ \text{cm}^2.$$

Wysokość $h_r$ opuszczona na ramię długości $10$ cm spełnia

$$48=\frac12\cdot10\cdot h_r, \qquad h_r=9{,}6\ \text{cm}.$$

Nie jest to $9{,}4$ cm, więc drugie zdanie także jest fałszywe.

Korzystamy z tożsamości

$$1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}.$$

Po podstawieniu $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$ otrzymujemy

$$\frac1{\cos^2\alpha}=1+\frac12=\frac32, \qquad \cos^2\alpha=\frac23.$$

Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}.$$