NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 21

Punkty wspólne prostej i paraboli otrzymujemy, porównując ich wartości $y$. Dwa różne punkty wspólne oznaczają, że prosta jest sieczną paraboli.

a)

$$x^2=-x \iff x(x+1)=0,$$

więc $x=0$ lub $x=-1$. Odpowiadające wartości to $y=0$ i $y=1$. Punkty wspólne mają zatem współrzędne $(0,0)$ i $(-1,1)$.

b)

$$x^2=x+2 \iff x^2-x-2=0 \iff (x-2)(x+1)=0.$$

Stąd $x=2$ lub $x=-1$, a punkty wspólne to $(2,4)$ i $(-1,1)$.

c)

$$-x-2=-x^2 \iff x^2-x-2=0 \iff (x-2)(x+1)=0.$$

Dla $x=2$ mamy $y=-4$, a dla $x=-1$ mamy $y=-1$. Otrzymujemy punkty $(2,-4)$ i $(-1,-1)$.

d) Pierwsze równanie daje $y=x-6$. Zatem

$$x-6=-x^2 \iff x^2+x-6=0 \iff (x+3)(x-2)=0.$$

Dla $x=-3$ mamy $y=-9$, a dla $x=2$ mamy $y=-4$. Punktami wspólnymi są $(-3,-9)$ i $(2,-4)$.

W każdym podpunkcie istnieją dwa różne punkty wspólne, więc każda z podanych prostych jest sieczną odpowiedniej paraboli.