NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 216

Niech $D$ będzie spodkiem wysokości z $C$ na prostą $AB$. W trójkącie prostokątnym $ACD$:

$$AD=\sqrt{AC^2-CD^2} =\sqrt{(4\sqrt3)^2-6^2}=2\sqrt3\ \text{cm}.$$

Ponadto

$$\sin\angle CAD=\frac6{4\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2},$$

więc $\angle CAB=60^\circ$. Stąd $\angle ABC=45^\circ$, bo $\angle ACB=75^\circ$. W trójkącie $BCD$:

$$BD=\frac6{\tan45^\circ}=6\ \text{cm}.$$

Zatem $AB=2\sqrt3+6$, a pole wynosi

$$P=\frac12(2\sqrt3+6)\cdot6 =6(3+\sqrt3)\ \text{cm}^2.$$

Kąt między ramionami ma miarę

$$180^\circ-2\cdot30^\circ=120^\circ.$$

Ustawmy podstawę poziomo i przyjmijmy współrzędne

$$A=(-3\sqrt3,0),\qquad B=(3\sqrt3,0),\qquad C=(0,3).$$

Wtedy $CA=CB=6$. Oś $y$ jest wysokością z $C$. Prosta $CB$ ma nachylenie $-1/\sqrt3$, więc wysokość z $A$ ma nachylenie $\sqrt3$ i równanie

$$y=\sqrt3(x+3\sqrt3)=\sqrt3x+9.$$

Przecina oś $y$ w punkcie $H=(0,9)$, który jest ortocentrum. Zatem

$$HC=9-3=6\ \text{cm},$$ $$HA=HB=\sqrt{(3\sqrt3)^2+9^2}=6\sqrt3\ \text{cm}.$$

Oznaczmy końce przeciwprostokątnej przez $A,B$, a wierzchołek kąta prostego przez $C$. Wszystkie kąty trójkąta są mniejsze od $120^\circ$, więc punkt Fermata $P$ leży wewnątrz i $\angle APB=120^\circ$.

Z symetrii trójkąta punkt $P$ leży na osi symetrii, zatem $PA=PB=x$. W trójkącie $APB$ twierdzenie cosinusów daje

$$2^2=x^2+x^2-2x^2\cos120^\circ=3x^2,$$

więc

$$x=\frac2{\sqrt3}.$$

Ustawmy $AB$ poziomo. Wysokość trójkąta $ABC$ opuszczona z $C$ ma długość 1, bo jego ramiona mają długość $\sqrt2$. Odległość punktu $P$ od $AB$ jest równa

$$\sqrt{x^2-1^2}=\sqrt{\frac43-1}=\frac1{\sqrt3}.$$

Zatem

$$PC=1-\frac1{\sqrt3}.$$

Ostatecznie

$$PA+PB+PC=\frac4{\sqrt3}+1-\frac1{\sqrt3} =1+\sqrt3.$$

To należało wykazać.

Ze skanu odczytujemy, że $A,B,C$ leżą na jednej prostej, $OA=4{,}5$ m, a szerokością rzeki jest $BC=AC-AB$. Z definicji tangensa:

$$AB=\frac{4{,}5}{\tan32^\circ}\approx7{,}20\ \text{m},$$ $$AC=\frac{4{,}5}{\tan18^\circ}\approx13{,}85\ \text{m}.$$

Zatem

$$BC\approx13{,}85-7{,}20=6{,}65\ \text{m}.$$

a) Różnica poziomów jest pionową składową przebytej drogi:

$$h=500\sin5^\circ\approx43{,}6\ \text{m}.$$

b) Niech $s$ oznacza długość drogi w kilometrach. Warunek na różnicę poziomów ma postać

$$s\sin5^\circ=0{,}130.$$

Stąd $s\approx1{,}492\ \text{km}$. Czas marszu wynosi

$$t=\frac{s}{4{,}5}\ \text{h}\approx0{,}3315\ \text{h} \approx19{,}9\ \text{min}.$$

Ze skanu odczytujemy kolejność punktów $A,B,C$ i $AB=800$ m. Niech $h=SC$, a $x=BC$. Wtedy

$$\tan50^\circ=\frac hx, \qquad \tan29^\circ=\frac h{x+800}.$$

Zatem

$$x=\frac h{\tan50^\circ}, \qquad x+800=\frac h{\tan29^\circ}.$$

Po odjęciu równań:

$$h\left(\frac1{\tan29^\circ}-\frac1{\tan50^\circ}\right)=800.$$

Stąd

$$h=\frac{800}{\frac1{\tan29^\circ}-\frac1{\tan50^\circ}} \approx829\ \text{m}.$$