NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 215

Niech boki prostokąta mają długości $a,b$. Każdy trójkąt powstały po przecięciu przekątną ma boki $a,b,10$, więc

$$a+b+10=24,$$

czyli $a+b=14$. Z twierdzenia Pitagorasa $a^2+b^2=10^2=100$. Korzystamy z tożsamości

$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab.$$ $$196=100+2ab,$$

stąd $ab=48$. Jest to pole prostokąta.

Ze skanu odczytujemy, że $CD\perp AB$, $AD=6$, $CD=4$ i $CB=6$. W trójkącie prostokątnym $ACD$:

$$AC=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}.$$

Zatem

$$\sin\alpha=\frac4{2\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}, \quad \cos\alpha=\frac6{2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}, \quad \tan\alpha=\frac46=\frac23.$$

W trójkącie prostokątnym $BCD$:

$$BD=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt5.$$

Stąd

$$\sin\beta=\frac46=\frac23, \quad \cos\beta=\frac{2\sqrt5}{6}=\frac{\sqrt5}{3}, \quad \tan\beta=\frac4{2\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}.$$

a) Tangens $2{,}4=\frac{12}{5}$ wyznacza proporcję przyprostokątnych $5k:12k$. Przeciwprostokątna ma wtedy długość $13k$. Z obwodu

$$5k+12k+13k=60$$

otrzymujemy $k=2$. Boki mają długości $10,24,26$.

b) Niech przeciwprostokątna ma długość $c$. Przyprostokątne mają wtedy długości

$$\frac c3, \qquad c\sqrt{1-\frac19}=\frac{2\sqrt2}{3}c.$$

Z warunku na pole:

$$4\sqrt2=\frac12\cdot\frac c3\cdot\frac{2\sqrt2}{3}c =\frac{\sqrt2}{9}c^2,$$

więc $c=6$. Przyprostokątne mają długości $2$ i $4\sqrt2$, zatem

$$Ob=8+4\sqrt2=4(2+\sqrt2).$$

c) Ponieważ $\beta=90^\circ-\alpha$, mamy $\cos\beta=\sin\alpha$. Warunek daje $\sin^2\alpha=\frac18$. Przy przeciwprostokątnej 16 jedna przyprostokątna ma długość

$$16\sin\alpha=4\sqrt2,$$

a druga

$$\sqrt{16^2-(4\sqrt2)^2}=4\sqrt{14}.$$

Pole wynosi

$$P=\frac12\cdot4\sqrt2\cdot4\sqrt{14}=16\sqrt7.$$

Obliczamy długości boków ze wzoru na odległość punktów.

a) $AB=3$, $AC=2$, $BC=\sqrt{13}$, a kąt prosty leży przy $A$. Dla kątów $\beta$ przy $B$ i $\gamma$ przy $C$:

$$\sin\beta=\cos\gamma=\frac{2\sqrt{13}}{13},\quad \cos\beta=\sin\gamma=\frac{3\sqrt{13}}{13},$$ $$\tan\beta=\frac23,\quad \tan\gamma=\frac32.$$

b) $AB=6$, $BC=4$, $AC=2\sqrt{13}$, a kąt prosty leży przy $B$. Dla kątów $\alpha$ przy $A$ i $\gamma$ przy $C$ otrzymujemy ten sam zestaw:

$$\sin\alpha=\cos\gamma=\frac{2\sqrt{13}}{13},\quad \cos\alpha=\sin\gamma=\frac{3\sqrt{13}}{13},$$ $$\tan\alpha=\frac23,\quad \tan\gamma=\frac32.$$

c) $AC=12$, $BC=5$, $AB=13$, a kąt prosty leży przy $C$. Zatem

$$\sin\alpha=\cos\beta=\frac5{13},\quad \cos\alpha=\sin\beta=\frac{12}{13},$$ $$\tan\alpha=\frac5{12},\quad \tan\beta=\frac{12}{5}.$$

d) $AC=3\sqrt5$, $BC=4\sqrt5$, $AB=5\sqrt5$, a kąt prosty leży przy $C$. Stąd

$$\sin\alpha=\cos\beta=\frac45,\quad \cos\alpha=\sin\beta=\frac35,$$ $$\tan\alpha=\frac43,\quad \tan\beta=\frac34.$$

Dla kąta ostrego wszystkie wartości są dodatnie. Korzystamy z $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ oraz $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

a)

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\frac1{100}}=\frac{3\sqrt{11}}{10}, \qquad \tan\alpha=\frac{\sqrt{11}}{33}.$$

b)

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{81}{100}}=\frac{\sqrt{19}}{10}, \qquad \tan\alpha=\frac{\sqrt{19}}9.$$

c)

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\frac1{36}}=\frac{\sqrt{35}}6, \qquad \tan\alpha=\sqrt{35}.$$

d)

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\frac13}=\frac{\sqrt6}{3}, \qquad \tan\alpha=\frac{\sqrt2}{2}.$$

e) Proporcja przyprostokątnych to $8:15$, więc przeciwprostokątna ma 17 części:

$$\sin\alpha=\frac8{17},qquad \cos\alpha=\frac{15}{17}.$$

f) Przyjmujemy przyprostokątne $\sqrt5$ i 1, więc przeciwprostokątna ma długość $\sqrt6$:

$$\sin\alpha=\frac{\sqrt{30}}6,qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt6}{6}.$$

g) Dla przyprostokątnych 1 i 4 przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{17}$:

$$\sin\alpha=\frac{\sqrt{17}}{17},qquad \cos\alpha=\frac{4\sqrt{17}}{17}.$$

h) Dla przyprostokątnych $2\sqrt3$ i 1 przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{13}$:

$$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{39}}{13},qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{13}}{13}.$$

W trójkącie równoramiennym wysokość $CD$ dzieli podstawę i kąt przy wierzchołku na połowy.

a) Połowa kąta przy wierzchołku ma $20^\circ$. W trójkącie prostokątnym $ACD$:

$$AD=6\tan20^\circ, \qquad AC=\frac6{\cos20^\circ}.$$

Zatem

$$AB=12\tan20^\circ\approx4{,}37\ \text{cm},$$ $$AC\approx6{,}39\ \text{cm}.$$

b) Niech $AC=r$. Wysokość wynosi $r\sin40^\circ$, a połowa podstawy $r\cos40^\circ$, więc $AB=2r\cos40^\circ$. Z warunku na pole:

$$12=\frac12\cdot2r\cos40^\circ\cdot r\sin40^\circ.$$

Stąd

$$r=\sqrt{\frac{12}{\sin40^\circ\cos40^\circ}} \approx4{,}94\ \text{cm},$$ $$AB=2r\cos40^\circ\approx7{,}56\ \text{cm}.$$

a) Niech $x$ będzie odległością obserwatora od podstawy wieży. Wtedy

$$\tan12^\circ=\frac{70}{x},$$

zatem

$$x=\frac{70}{\tan12^\circ}\approx329{,}26\ \text{m}.$$

b) Jeśli $\alpha$ jest kątem liny z poziomem, to

$$\tan\alpha=\frac{110}{40}=2{,}75.$$

Stąd

$$\alpha=\arctan(2{,}75)\approx70^\circ.$$