NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 214

Pierwszy szkic. Ponieważ $AB\parallel CD$, trójkąty $ABP$ i $CDP$ są podobne z cechy kąt–kąt: mają parę kątów wierzchołkowych przy $P$ oraz pary kątów naprzemianległych. Skala podobieństwa daje

$$\frac{h_1}{h_2}=\frac ab.$$

Odcinek $GP$ jest równoległy do $AB$, więc $\triangle GDP\sim\triangle ADB$. Stąd

$$\frac a{GP}=\frac{h_1+h_2}{h_2} =\frac{h_1}{h_2}+1 =\frac ab+1=\frac{a+b}{b},$$

czyli

$$GP=\frac{ab}{a+b}.$$

Analogicznie, ponieważ $PH\parallel AB$, mamy $\triangle PHC\sim\triangle ABC$, a zatem

$$PH=\frac{ab}{a+b}.$$

Wobec tego

$$GH=GP+PH=\frac{2ab}{a+b}.$$

Drugi szkic. Odcinek $EF=x$ dzieli trapez na dwa trapezy o równych polach. Dlatego

$$\frac{a+x}{2}h_1=\frac P2, \qquad \frac{b+x}{2}h_2=\frac P2,$$

skąd

$$h_1=\frac P{a+x}, \qquad h_2=\frac P{b+x}.$$

Pole całego trapezu spełnia

$$P=\frac{a+b}{2}(h_1+h_2) =\frac{a+b}{2}\left(\frac P{a+x}+\frac P{b+x}\right).$$

Po skróceniu przez $P>0$ i pomnożeniu przez $2(a+x)(b+x)$:

$$2(a+x)(b+x)=(a+b)(a+b+2x).$$

Po rozwinięciu stron i redukcji wspólnych składników otrzymujemy

$$2x^2=a^2+b^2.$$

Ponieważ $x>0$,

$$x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$