NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 213

Niech $h$ oznacza wysokość, $a$ — dłuższą podstawę, a $b$ — krótszą. Dłuższa przekątna ma poziomy rzut równy $a$, więc

$$\tan\alpha=\frac ha=\frac13,$$

stąd $a=3h$. Kąt ostry trapezu ma $45^\circ$, zatem różnica podstaw jest równa wysokości: $a-b=h$. Otrzymujemy $b=2h$.

Z warunku na pole:

$$90=\frac{a+b}{2}h=\frac{5h}{2}h,$$

więc $h=6\ \text{cm}$. Podstawy mają długości 18 cm i 12 cm, a ramię ukośne ma długość $6\sqrt2$ cm. Zatem

$$Ob=18+12+6+6\sqrt2=6(6+\sqrt2)\ \text{cm}.$$

Ze skanu odczytujemy, że $AB\parallel CD$ i $BC$ jest wysokością. Dla kąta $\angle DAB$:

$$\sin\angle DAB=\frac{\sqrt5}{3}, \qquad \cos\angle DAB=\sqrt{1-\frac59}=\frac23.$$

Wysokość i poziomy rzut ramienia $AD=10\ \text{cm}$ wynoszą więc

$$h=10\cdot\frac{\sqrt5}{3}=\frac{10\sqrt5}{3}\ \text{cm},$$ $$x=10\cdot\frac23=\frac{20}{3}\ \text{cm}.$$

Krótsza podstawa ma długość

$$CD=AB-x=14-\frac{20}{3}=\frac{22}{3}\ \text{cm}.$$

Zatem

$$P=\frac{14+\frac{22}{3}}{2}\cdot\frac{10\sqrt5}{3} =\frac{320\sqrt5}{9}\ \text{cm}^2.$$

Z równania na pole

$$18=\frac{4+2}{2}h$$

otrzymujemy $h=6\ \text{cm}$. Ustawmy trapez symetrycznie: końce dłuższej podstawy mają współrzędne $(-2,0),(2,0)$, a krótszej $(-1,6),(1,6)$. Wektory kierunkowe przekątnych mogą mieć postać

$$\vec u=(3,6), \qquad \vec v=(-3,6).$$

Ich iloczyn skalarny wynosi $27$, a długości są równe $3\sqrt5$. Zatem cosinus kąta ostrego między przekątnymi jest równy

$$\cos\gamma=\frac{27}{45}=\frac35.$$

Stąd

$$\sin\gamma=\sqrt{1-\frac9{25}}=\frac45=0{,}8.$$

Podstawami są boki 50 m i 20 m, a ramiona mają po 25 m. Połowa różnicy podstaw wynosi 15 m, więc wysokość działki jest równa

$$h=\sqrt{25^2-15^2}=20\ \text{m}.$$

Niech linia podziału leży w części $t$ wysokości, licząc od podstawy 20 m. Jej długość zmienia się liniowo i wynosi $x=20+30t$, a części ramion mają długości $25t$ oraz $25(1-t)$. Równość obwodów daje

$$20+x+50t=50+x+50(1-t),$$

stąd $t=\frac45$ i $x=44\ \text{m}$.

Pole części przy podstawie 20 m:

$$P_1=\frac{20+44}{2}\cdot\frac45\cdot20=512\ \text{m}^2.$$

Pole całej działki wynosi $\frac{20+50}{2}\cdot20=700\ \text{m}^2$, więc drugie pole jest równe $700-512=188\ \text{m}^2$.

Zewnętrzny obwód ma $120$ m, a wspólna siatka $44$ m jest liczona raz. Po odjęciu dwóch furtek po $1{,}5$ m potrzeba

$$120+44-2\cdot1{,}5=161\ \text{m}$$

siatki.

Trójkąty $ABD$ i $ABC$ mają wspólną podstawę $AB$. Ich wierzchołki $D,C$ leżą na prostej $CD$ równoległej do $AB$, więc wysokości opuszczone na $AB$ są równe. Zatem

$$P_{ABD}=P_{ABC}.$$

Ponieważ $E$ leży na obu przekątnych,

$$P_{ABD}=P_{ABE}+P_{AED},$$ $$P_{ABC}=P_{ABE}+P_{BEC}.$$

Po odjęciu wspólnego pola $P_{ABE}$ otrzymujemy

$$P_{AED}=P_{BEC}.$$

To należało wykazać.

Niech $M,N$ będą środkami ramion odpowiednio $AD,BC$, a $P$ — środkiem przekątnej $AC$.

W trójkącie $ADC$ odcinek $MP$ łączy środki boków $AD$ i $AC$, więc

$$MP\parallel CD, \qquad MP=\frac b2.$$

W trójkącie $ABC$ odcinek $PN$ łączy środki boków $AC$ i $BC$, zatem

$$PN\parallel AB, \qquad PN=\frac a2.$$

Ponieważ $AB\parallel CD$, odcinki $MP$ i $PN$ leżą na jednej prostej. Stąd

$$MN=MP+PN=\frac b2+\frac a2=\frac{a+b}{2}.$$

To należało udowodnić.

Odcinek łączący środki ramion ma długość równą średniej podstaw, więc jeśli $a$ oznacza dłuższą podstawę, to

$$\frac{a+7{,}5}{2}=10.$$

Stąd $a=12{,}5\ \text{cm}$, a różnica podstaw wynosi 5 cm.

Niech $x,y$ będą poziomymi rzutami ramion długości 3 cm i 4 cm. Mamy

$$x+y=5,$$ $$h^2+x^2=3^2, \qquad h^2+y^2=4^2.$$

Po odjęciu równań $(y-x)(y+x)=7$, więc $y-x=\frac75$. Stąd $x=\frac95$, $y=\frac{16}{5}$ i

$$h=\sqrt{9-\left(\frac95\right)^2}=\frac{12}{5}\ \text{cm}.$$

Pole trapezu jest równe

$$P=10\cdot\frac{12}{5}=24\ \text{cm}^2.$$

Niech podstawy mają długości $a<b$. Ich suma wynosi 16, więc odcinek łączący środki ramion ma długość 8. Dzieli on wysokość trapezu na połowy. Pola części są zatem proporcjonalne do sum równoległych boków:

$$\frac{a+8}{b+8}=\frac35, \qquad a+b=16.$$

Stąd $a=4$, $b=12$.

Różnica podstaw wynosi 8. Jeśli $x,y$ są poziomymi rzutami ramion 7 i 9, to $x+y=8$ oraz

$$y^2-x^2=9^2-7^2=32.$$

Zatem $y-x=4$, więc $x=2$, $y=6$. Wysokość wynosi

$$h=\sqrt{7^2-2^2}=3\sqrt5\ \text{cm}.$$

Pole:

$$P=\frac{4+12}{2}\cdot3\sqrt5=24\sqrt5\ \text{cm}^2.$$

Niech krótsza podstawa ma długość $a$, dłuższa $2a$, a wysokość $h$. Poziomy rzut ramienia ma długość $a/2$, więc dla kąta ostrego $\alpha$:

$$\tan\alpha=\frac{2h}{a}.$$

Przekątna poprowadzona z końca dłuższej podstawy ma poziomy rzut $\frac{3a}{2}$ i dzieli kąt $\alpha$ na połowy, zatem

$$\tan\frac\alpha2=\frac{2h}{3a}.$$

Korzystamy ze wzoru

$$\tan\alpha=\frac{2\tan(\alpha/2)}{1-\tan^2(\alpha/2)}.$$

Po podstawieniu i uproszczeniu otrzymujemy

$$h^2=\frac{3a^2}{4},$$

czyli $h=\frac{a\sqrt3}{2}$. Stąd $\tan\alpha=\sqrt3$, więc $\alpha=60^\circ$, a kąty rozwarte mają po $120^\circ$. Ramię ma długość

$$\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+h^2}=a.$$

Pole trapezu jest równe

$$S=\frac{a+2a}{2}\cdot\frac{a\sqrt3}{2} =\frac{3\sqrt3}{4}a^2.$$

Zatem

$$a=\frac{2\sqrt[4]{3}}{3}\sqrt S.$$

Długość odcinka równoległego do podstaw, który dzieli trapez na dwie części o równych polach, jest średnią kwadratową długości podstaw. Zatem

$$x=\sqrt{\frac{20^2+80^2}{2}} =\sqrt{3400}=10\sqrt{34}\ \text{m}.$$

W przybliżeniu $x\approx58{,}3\ \text{m}$.