NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 212

Opuśćmy wysokości z końców krótszej podstawy. Niech $x,y$ będą poziomymi odcinkami przy ramionach. Wtedy

$$\tan\alpha=\frac4x, \qquad \tan\beta=\frac4y.$$

Dla kąta $\alpha$:

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac23\right)^2}=\frac{\sqrt5}{3}, \qquad \tan\alpha=\frac{2\sqrt5}{5},$$

więc $x=\frac4{\tan\alpha}=2\sqrt5$.

Dla kąta $\beta$:

$$\cos\beta=\sqrt{1-\left(\frac{4\sqrt{21}}{21}\right)^2} =\sqrt{\frac5{21}},$$ $$\tan\beta=\frac{4\sqrt5}{5}, \qquad y=\frac4{\tan\beta}=\sqrt5.$$

Dłuższa podstawa ma długość

$$2\sqrt5+5\sqrt5+\sqrt5=8\sqrt5\ \text{cm}.$$

Zatem

$$P=\frac{5\sqrt5+8\sqrt5}{2}\cdot4 =26\sqrt5\ \text{cm}^2.$$

Niech przekątne deltoidu przecinają się w punkcie $O$. Są prostopadłe, a jedna z nich jest dzielona przez $O$ na połowy. Przekątne dzielą deltoid na cztery trójkąty prostokątne.

Jeśli połowy dzielonej przekątnej mają długość $d_2/2$, to suma pól dwóch trójkątów po jednej stronie drugiej przekątnej jest równa

$$\frac12\cdot\frac{d_2}{2}\cdot x +\frac12\cdot\frac{d_2}{2}\cdot x =\frac12d_2x.$$

Po drugiej stronie analogicznie otrzymujemy $\frac12d_2y$, gdzie $x+y=d_1$. Stąd

$$P=\frac12d_2(x+y)=\frac12d_1d_2.$$

To należało udowodnić.

Trzeba rozpatrzyć, która przekątna ma długość 6.

Przypadek 1. Przekątna długości 6 jest dzielona na połowy. Jej połówki mają długość 3. Odcinki drugiej przekątnej obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$$x=\sqrt{(3\sqrt2)^2-3^2}=3, \qquad y=\sqrt{5^2-3^2}=4.$$

Druga przekątna ma długość $x+y=7$, więc

$$P=\frac12\cdot6\cdot7=21.$$

Przypadek 2. Przekątna długości 6 dzieli drugą na połowy. Niech $t$ będzie połową drugiej przekątnej, a $x$ — jednym z odcinków przekątnej długości 6. Wtedy

$$t^2+x^2=18, \qquad t^2+(6-x)^2=25.$$

Po odjęciu równań otrzymujemy $36-12x=7$, czyli $x=\frac{29}{12}$. Stąd

$$t^2=18-\left(\frac{29}{12}\right)^2=\frac{1751}{144},$$

więc druga przekątna ma długość $2t=\frac{\sqrt{1751}}6$. Pole wynosi

$$P=\frac12\cdot6\cdot\frac{\sqrt{1751}}6 =\frac{\sqrt{1751}}2.$$