NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 211

a) W trapezie równoramiennym krótsza podstawa jest symetrycznie położona nad dłuższą. Pozioma składowa przekątnej ma zatem długość

$$\frac{10+6}{2}=8.$$

Jeśli $h$ jest wysokością, to

$$h^2+8^2=9^2,$$

więc $h=\sqrt{17}$. Pole i długość ramienia wynoszą

$$P=\frac{10+6}{2}\sqrt{17}=8\sqrt{17},$$ $$r=\sqrt{\left(\frac{10-6}{2}\right)^2+h^2}=\sqrt{21}.$$

Stąd $Ob=16+2\sqrt{21}=2(8+\sqrt{21})$.

b) Pozioma składowa ramienia jest równa

$$x=\sqrt{7^2-(3\sqrt5)^2}=2.$$

Dłuższa podstawa ma więc długość $5+2x=9$. Zatem

$$P=\frac{5+9}{2}\cdot3\sqrt5=21\sqrt5, \qquad Ob=5+9+2\cdot7=28.$$

a) Kąt ostry ma $30^\circ$. Połowa różnicy podstaw jest równa

$$x=\frac{7\sqrt3-3\sqrt3}{2}=2\sqrt3.$$

Zatem

$$h=x\tan30^\circ=2, \qquad r=\sqrt{x^2+h^2}=4.$$

Stąd

$$P=\frac{3\sqrt3+7\sqrt3}{2}\cdot2=10\sqrt3,$$ $$Ob=3\sqrt3+7\sqrt3+2\cdot4=2(5\sqrt3+4).$$

b) Niech krótsza podstawa ma długość $x$, a dłuższa $3x$. Pozioma składowa przekątnej ma długość $\frac{x+3x}{2}=2x$, więc

$$(2x)^2+(3\sqrt5)^2=9^2.$$

Stąd $x=3$. Pozioma składowa ramienia wynosi $\frac{9-3}{2}=3$, zatem $r=\sqrt{3^2+(3\sqrt5)^2}=3\sqrt6$. Otrzymujemy

$$P=\frac{3+9}{2}\cdot3\sqrt5=18\sqrt5, \qquad Ob=3+9+2\cdot3\sqrt6=6(2+\sqrt6).$$