NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 210

a) Kąt ostry ma miarę $30^\circ$, więc

$$P=4\cdot9\sin30^\circ=18\ \text{cm}^2.$$

b) Niech boki równoległoboku mają długości $a,b$. Z obwodu $a+b=12$, a z pola

$$ab\cdot0{,}25=8,$$

czyli $ab=32$. Liczby $a,b$ są więc pierwiastkami równania

$$t^2-12t+32=0,$$

stąd $\{a,b\}=\{4,8\}$. Wysokości wynoszą

$$h_a=\frac8{4}=2\ \text{cm}, \qquad h_b=\frac8{8}=1\ \text{cm}.$$

a) Ze skanu odczytujemy podstawę 6 i wysokość 2, zatem $P=12$. Drugi bok $x$ spełnia $x\sin45^\circ=2$, więc $x=2\sqrt2$. Stąd

$$Ob=2(6+2\sqrt2)=4(3+\sqrt2).$$

b) Boki mają długości 8 i 4, a kąt między nimi $60^\circ$, więc

$$P=8\cdot4\sin60^\circ=16\sqrt3, \qquad Ob=2(8+4)=24.$$

c) Podstawa ma długość $5+3=8$. Poziomy rzut boku długości 5 ma, zgodnie z rysunkiem, długość 3, zatem wysokość wynosi

$$h=\sqrt{5^2-3^2}=4.$$

Wobec tego

$$P=8\cdot4=32, \qquad Ob=2(8+5)=26.$$

a) Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy. Każdy z czterech trójkątów wyznaczonych przez przekątne ma dwa boki długości $\frac p2$, $\frac q2$ i kąt między nimi równy $\alpha$ albo $180^\circ-\alpha$. Ponieważ oba kąty mają ten sam sinus, pole każdego trójkąta wynosi

$$\frac12\cdot\frac p2\cdot\frac q2\sin\alpha =\frac{pq\sin\alpha}{8}.$$

Po zsumowaniu czterech pól:

$$P=4\cdot\frac{pq\sin\alpha}{8}=\frac12pq\sin\alpha.$$

b) Przekątne tworzą z tym samym bokiem kąty $12^\circ$ i $33^\circ$ po przeciwnych jego stronach, więc kąt między przekątnymi ma miarę $45^\circ$. Z udowodnionego wzoru:

$$P=\frac12\cdot6\cdot10\sin45^\circ=15\sqrt2\ \text{cm}^2.$$

Niech krótsza przekątna ma długość $p$, a dłuższa $3p$. Ze wzoru na pole:

$$16\sqrt2=\frac12\cdot p\cdot3p\cdot\frac{2\sqrt2}{3} =p^2\sqrt2,$$

więc $p=4$, a przekątne mają długości 4 cm i 12 cm.

Niech $O$ będzie punktem ich przecięcia, a $A,B$ — sąsiednimi wierzchołkami leżącymi odpowiednio na dłuższej i krótszej przekątnej. Wtedy $OA=6$, $OB=2$. Dla ostrego kąta $\theta$ między przekątnymi

$$\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta} =\sqrt{1-\frac89}=\frac13.$$

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $AOB$:

$$AB^2=6^2+2^2-2\cdot6\cdot2\cdot\frac13=32,$$

zatem krótszy bok ma długość $4\sqrt2$. Ponadto

$$AB^2+OB^2=32+4=36=OA^2,$$

więc $\angle ABO=90^\circ$. Odcinek $BO$ leży na krótszej przekątnej, zatem krótszy bok jest do niej prostopadły; to samo zachodzi po przeciwnej stronie równoległoboku.

Drugi bok spełnia

$$b^2=6^2+2^2+2\cdot6\cdot2\cdot\frac13=48,$$

czyli $b=4\sqrt3$. Obwód wynosi

$$Ob=2(4\sqrt2+4\sqrt3)=8(\sqrt2+\sqrt3)\ \text{cm}.$$

a) Połówki przekątnych mają długości 6 cm i 8 cm, więc bok rombu ma długość

$$a=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \text{cm}.$$

Pole z przekątnych wynosi $P=\frac12\cdot12\cdot16=96\ \text{cm}^2$. Z zależności $P=a^2\sin\alpha$:

$$\sin\alpha=\frac{96}{10^2}=0{,}96.$$

b) Bok rombu ma długość $48:4=12\ \text{cm}$. Z równania $P=ah$:

$$h=\frac{120}{12}=10\ \text{cm}.$$

a) Przekątne rombu o boku 4 i kącie $60^\circ$ mają długości

$$d_1=2\cdot4\cos30^\circ=4\sqrt3, \qquad d_2=2\cdot4\sin30^\circ=4.$$

Odcinki łączące środki boków tworzą prostokąt o bokach równych połowom przekątnych, zatem

$$P=\frac{d_1}{2}\cdot\frac{d_2}{2} =2\sqrt3\cdot2=4\sqrt3\ \text{cm}^2.$$

b) Bok rombu ma długość $104:4=26\ \text{cm}$. Niech krótsza przekątna ma długość $x$, a dłuższa $x+28$. Z twierdzenia Pitagorasa dla połówek przekątnych:

$$\left(\frac x2\right)^2+\left(\frac{x+28}{2}\right)^2=26^2.$$

Po uproszczeniu

$$x^2+28x-960=0,$$

skąd dodatnim rozwiązaniem jest $x=20$. Przekątne mają zatem długości 20 cm i 48 cm, więc

$$P=\frac12\cdot20\cdot48=480\ \text{cm}^2.$$

a) Połówki przekątnych rombu są prostopadłymi przyprostokątnymi trójkąta o przeciwprostokątnej 13. Jeśli połowa drugiej przekątnej ma długość $x$, to

$$x^2+12^2=13^2,$$

więc $x=5$. Druga przekątna ma długość 10, zatem

$$P=\frac12\cdot24\cdot10=120, \qquad h=\frac{P}{13}=\frac{120}{13}.$$

b) Z jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego:

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\frac19}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$

Stąd

$$P=6^2\sin\alpha=24\sqrt2, \qquad h=\frac P6=4\sqrt2.$$

Bok rombu łączącego środki sąsiednich boków prostokąta jest równy połowie przekątnej prostokąta, czyli ma długość 6 cm. Jeśli $\alpha$ jest kątem ostrym rombu, to

$$12\sqrt3=6^2\sin\alpha,$$

stąd

$$\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Dla kąta ostrego

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3},$$ $$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\sqrt2}{2}.$$