NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 209

Dla kąta ostrego $\alpha$ mamy

$$P=6\cdot12\sin\alpha=72\sin\alpha.$$

a) $72\sin\alpha=36$, więc $\sin\alpha=\frac12$ i $\alpha=30^\circ$.

b) $72\sin\alpha=36\sqrt2$, więc $\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$ i $\alpha=45^\circ$.

c) $72\sin\alpha=36\sqrt3$, więc $\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=60^\circ$.

Kąt ostry ma miarę $180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Pole równoległoboku:

$$P=6\cdot6\sqrt3\sin60^\circ=54.$$

Jeżeli $h_6$ jest wysokością opuszczoną na bok długości 6, to

$$6h_6=54,$$

zatem $h_6=9$. Dla drugiego boku:

$$6\sqrt3\,h_{6\sqrt3}=54,$$

więc $h_{6\sqrt3}=3\sqrt3$.

a) Niech przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie $O$. Przekątne dzielą się na połowy, więc $AO=OC$ i $BO=OD$.

Trójkąty $AOB$ i $BOC$ mają równe podstawy $AO,OC$ leżące na jednej prostej oraz tę samą wysokość opuszczoną z $B$, zatem mają równe pola. Analogicznie trójkąty $AOD$ i $COD$ mają równe pola. Z kolei trójkąty $AOB$ i $AOD$ mają równe podstawy $BO,OD$ i tę samą wysokość z $A$. Wszystkie cztery pola są więc równe.

b) Cztery trójkąty wyznaczone przez przekątne mają łącznie pole

$$P=4\cdot\frac12\cdot\frac52\cdot\frac{10}{2}\sin30^\circ =\frac12\cdot5\cdot10\cdot\frac12 =12{,}5\ \text{cm}^2.$$

Niech przekątne rombu przecinają się w punkcie $O$. Są one prostopadłe i dzielą się na połowy. Każdy z czterech powstałych trójkątów prostokątnych ma przyprostokątne długości $\frac{d_1}{2}$ i $\frac{d_2}{2}$, zatem jego pole wynosi

$$\frac12\cdot\frac{d_1}{2}\cdot\frac{d_2}{2} =\frac{d_1d_2}{8}.$$

Pole rombu jest sumą czterech takich pól:

$$P=4\cdot\frac{d_1d_2}{8}=\frac12d_1d_2.$$

To należało udowodnić.